각운동량 연산자의 각 성분끼리의 교환 관계
Commutative Relation Between Elements of Angular Momentum
정리
각운동량 연산자 의 각 성분끼리의 교환관계는 다음과 같다.
$$\left[L_j,\ L_k \right]=i\hbar \epsilon_{jkm}L_m$$
이때 $\epsilon_{kjm}$은 레비-치비타 심볼이다.
설명
증명
- $\left[ L_{x},\ L_{y} \right]$
교환자의 성질을 이용하면
$$\begin{align*} [L_{x},L_{y}] =&\ [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ =&\ [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ =&\ [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \end{align*}$$
이 때 다른 인덱스의 위치 연산자와 운동량 연산자는 서로 독립이다.즉 교환자를 취했을 때 $0$이라는 말이다.
$$[x,p_{y}]=[x,p_{z}]=[y,p_{x}]=[y,p_{z}]=[z,p_{x}]=[z,p_{y}]=0$$
또한 같은 연산자끼리의 교환자 연산도 $0$이므로 위의 네 항을 직접 계산하지 않아도 결과를 알 수 있다.좌우에 교환자 연산 결과가 $0$이 아닌 경우만 값이 나온다. 풀어서 말하자면 전개했을 때 $[x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}]$ 이 셋만 $0$이 아닌 값을 갖는다. 이 암산과정이 잘 이해되지 않는다면 글의 맨 아래를 참고하자.
첫 번째 항을 전개하면 $y[p_{z},z]p_{x}$를 제외한 항은 모두 $0$이다. 두 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다. 세 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다. 네 번째 항을 전개하면 $x[z,p_{z}]p_{y}$를 제외한 항은 모두 $0$이다.
따라서 $[L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_+x[z,p_{z}]p_{y}$여기서 위치연산자와 운동량연산자의 교환자 관계를 사용하면
$$ \begin{align*} [L_{x},L_{y}] =&\ y[p_{z},z]p_{x}-x[z,p_{z}]p_{y} \\ =&\ -i\hbar (yp_{x}) +i\hbar (xp_{y}) \\ =&\ i \hbar (xp_{y}-yp_{x}) \\ =&\ i \hbar L_{z} \end{align*} $$
또한 $[L_{y},L_{z}]=i \hbar L_{x},\ [L_{z},L_{x}]=i \hbar L_{y}$이다.(계산 과정은 생략하니 정말 저렇게 나오는지 궁금하다면 직접 계산해보길 바란다.)위의 계산 결과를 모두 종합하면 아래의 결과를 얻는다.$[L_j,L_k]=i\hbar \epsilon_{jkm}L_m$일반적으로 레비-치비타 기호의 인덱스로는 ${ijk}$를 사용하나 허수$i$와의 혼동을 피하기 위해 다르게 사용하였다.인덱스의 모양에는 아무 의미가 없으므로 레비-치비타기호의 의미가 바뀌는 것이 아니므로 헷갈리지 말기를 바란다.이 결과로부터 후에 양자수 $m,\ l,\ s$등의 조건이 결정된다.우리는 방금 아주 중요한 결과를 얻어낸 것이다.※추가내용위에서 교환자 전개 내용이 이해 안되는 이들을 위해 하나하나 다 풀어보겠다.빨간색으로 칠한 부분은 값이 $0$이다.$[yp_{z},zp_{x}] =y[p_{z},zp_{x}] +[y,zp_{x}]p_{z}= yz\color{red}{[p_{z},p_{x}]} + y[p_{z},z]p_{x} +z\color{red}{[y,p_{x}]}p_{z} + +\color{red}{[y,z]}p_{x}p_{z}=y[p_{z},z]p_{x} $$
- [yp_{z},xp_{z}]=- y[p_{z},xp_{z}]- [y,xp_{z}]p_{z}=- yx\color{red}{[p_{z},p_{z}]}- y\color{red}{[p_{z},x]}p_{z}- x\color{red}{[y,p_{z}]}p_{z}- \color{red}{[y,x]}p_{z}p_{z}=0 $$
- [zp_{y},zp_{x}]=- z[p_{y},zp_{x}]- [z,zp_{x}]p_{y}=- zz\color{red}{[p_{y},p_{x}]}- z\color{red}{[p_{y},z]}p_{x}- z\color{red}{[z,p_{x}]}p_{y}- \color{red}{[z,z]}p_{x}p_{y}=0 $$ [zp_{y},xp_{z}]=z[p_{y},xp_{z}]+[z,xp_{z}]p_{y}=zx\color{red}{[p_{y},p_{z}]}+z\color{red}{[p_{y},x]}p_{z} + x[z,p_{z}]p_{y}+\color{red}{[z,x]}p_{z}p_{y}=x[z,p_{z}]p_{y}$