각운동량 연산자의 각 성분끼리의 교환 관계 구하기

각운동량 연산자의 각 성분끼리의 교환 관계 구하기


🚧 이 포스트는 아직 이관 작업이 완료되지 않았습니다 🚧

각운동량 연산자의 교환 관계 $\left[L_j,\ L_k \right]=i\hbar \epsilon_{jkm}L_m$

각운동량은 물체(입자)의 위치와 운동량의 외적으로 정의한다.$\vec L = \vec r \times \vec p$각운동량 연산자의 교환자 관계를 구하는 것은 각운동량의 정의로부터 시작된다.$\vec L = \vec r \times \vec p = (yp_{z}-zp_{y})\mathbf{\hat{\mathbf{x}}}+(zp_{x}-xp_{z})\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + (xp_{y}-yp_{x})\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$ \vec L = L_{x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}}}+L_{y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + L_{z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}} $$ \therefore L_{x}=yp_{z}-zp_{y},\ L_{y}=zp_{x}-xp_{z}, \ L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$우선 $\left[ L_{x},\ L_{y} \right]$부터 구해보자교환자의 성질을 이용하면$\begin{align*} [L_{x},L_{y}] =&\ [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ =&\ [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ =&\ [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \end{align*}$이 때 다른 인덱스의 위치 연산자와 운동량 연산자는 서로 독립이다.즉 교환자를 취했을 때 $0$이라는 말이다.$[x,p_{y}]=[x,p_{z}]=[y,p_{x}]=[y,p_{z}]=[z,p_{x}]=[z,p_{y}]=0$또한 같은 연산자끼리의 교환자 연산도 $0$이므로 위의 네 항을 직접 계산하지 않아도 결과를 알 수 있다.좌우에 교환자 연산 결과가 $0$이 아닌 경우만 값이 나온다. 풀어서 말하자면 전개했을 때 $[x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}]$ 이 셋만 $0$이 아닌 값을 갖는다. 이 암산과정이 잘 이해되지 않는다면 글의 맨 아래를 참고하자.이해된다면 굳이 볼 필요없다.첫 번째 항을 전개하면 $y[p_{z},z]p_{x}$를 제외한 항은 모두 $0$이다.두 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다.세 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다.네 번째 항을 전개하면 $x[z,p_{z}]p_{y}$를 제외한 항은 모두 $0$이다.따라서 $[L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_+x[z,p_{z}]p_{y}$여기서 위치연산자와 운동량연산자의 교환자 관계를 사용하면$\begin{align*} [L_{x},L_{y}] =&\ y[p_{z},z]p_{x}-x[z,p_{z}]p_{y} \\ =&\ -i\hbar (yp_{x}) +i\hbar (xp_{y}) \\ =&\ i \hbar (xp_{y}-yp_{x}) \\ =&\ i \hbar L_{z} \end{align*}$또한 $[L_{y},L_{z}]=i \hbar L_{x},\ [L_{z},L_{x}]=i \hbar L_{y}$이다.(계산 과정은 생략하니 정말 저렇게 나오는지 궁금하다면 직접 계산해보길 바란다.)위의 계산 결과를 모두 종합하면 아래의 결과를 얻는다.$[L_j,L_k]=i\hbar \epsilon_{jkm}L_m$일반적으로 레비-치비타 기호의 인덱스로는 ${ijk}$를 사용하나 허수$i$와의 혼동을 피하기 위해 다르게 사용하였다.인덱스의 모양에는 아무 의미가 없으므로 레비-치비타기호의 의미가 바뀌는 것이 아니므로 헷갈리지 말기를 바란다.이 결과로부터 후에 양자수 $m,\ l,\ s$등의 조건이 결정된다.우리는 방금 아주 중요한 결과를 얻어낸 것이다.※추가내용위에서 교환자 전개 내용이 이해 안되는 이들을 위해 하나하나 다 풀어보겠다.빨간색으로 칠한 부분은 값이 $0$이다.$[yp_{z},zp_{x}] =y[p_{z},zp_{x}] +[y,zp_{x}]p_{z}= yz\color{red}{[p_{z},p_{x}]} + y[p_{z},z]p_{x} +z\color{red}{[y,p_{x}]}p_{z} + +\color{red}{[y,z]}p_{x}p_{z}=y[p_{z},z]p_{x} $$

댓글