초함수의 컨볼루션, 실수에서 정의된 함수로서의 초함수

초함수의 컨볼루션, 실수에서 정의된 함수로서의 초함수

빌드업1

초함수론의 목적은 나이브하게 정의된 디랙 델타 함수같은 것들을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 것이다. 따라서 함수공간에서 정의된 초함수를 실수공간에서 정의되는 함수로 다룰 수 있게 해야 한다. 먼저 초함수의 미분, 트렌슬레이션 등이 어떻게 정의됐는지 생각해보자.

초함수는 정의역이 함수공간이라 미분 등을 기존의 개념대로 정의할 수 없기 때문에 해당 작용을 테스트 함수에 대신 하는 것으로 생각했다. 이와 비슷한 방법으으로 초함수와 테스트 함수의 컨볼루션을 정의하려고 한다. 우선 국소 적분가능한 함수 $u$와 이에 대응되는 정칙 초함수 $T_{u}$가 주어졌다고 하자. $u$와 테스트 함수 $\phi$의 컨볼루션은 다음과 같다.

$$ u \ast \phi (\mathbf{x}) =\int u(\mathbf{y})\phi(\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y},\quad \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n} $$

$T_{u}$와 $\phi$를 컨볼루션할 수 없으니 $T_{u}$에 대응되는 $u$와 $\phi$의 컨볼루션을 $T_{u}$와 $\phi$의 컨볼루션으로 정의하자.

$$ T_{u} \ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\phi(\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y}=u\ast \phi(\mathbf{x}) $$

그런데 임의의 함수 $f$에 대해서 $\tilde{f}(y)=f(-y)$, $f_{x}(y)=f(y-x)$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ \tilde{f}_{x}(y)=\tilde{f}(y-x)=f(x-y) $$

따라서 $T_{u} \ast \phi$를 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ T_{u}\ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\tilde{\phi}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y})d\mathbf{y}=T_{u}(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}}) $$

따라서 최종적으로 초함수와 테스트 함수와의 컨볼루션을 다음과 같이 정의한다.

정의

$T$를 초함수, $\phi$를 테스트 함수라고 하자. $T$와 $\phi$의 컨볼루션을 다음과 같이 정의한다.

$$ T \ast \phi (\mathbf{x}) :=T(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}})=T(\phi(\mathbf{x}-\cdot)) $$

설명

정의역이 함수 공간인 초함수 $T$를 위와 같은 정의로 인해 실수 공간 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 것처럼 생각할 수 있다. 따라서 고전적인 의미에서의 연속, 미분 등을 말할 수 있게 된다. 실제로 다음의 정리가 성립한다.

정리

$T$가 초함수, $\phi$가 테스트 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ T\ast \phi \in C^{\infty} \quad \text{and} \quad \partial^{\alpha}(T\ast \phi)=T\ast \partial^{\alpha}\phi $$

증명

증명의 간소화를 위해 1차원이라고 가정하자. 어떤 테스트 함수 $\phi$에 대해서 아래의 식이 성립하는 $r>0$가 존재한다.

$$ \mathrm{supp}\phi \subset [-r,r] $$

또한 어떤 함수 $f :\mathbb{R}\to \mathbb{C}$가 $\left| x \right| \le C $, $\left| h \right| \le 1$에 대해서 $f(y)=\phi(x+h-y)$와 같이 정의된 함수라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

$$ \mathrm{supp}f \subset [-R,R],\quad R=r+C+1 $$

이제 $\psi$와 $\Psi$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \psi_{x,h}(y) =&\ \phi(x+h-y)-\phi(x-y) \\ \Psi_{x,h}(y) =&\ \frac{\phi(x+h-y)-\phi(x-y) }{h}-\phi'(x-y) \end{align*} $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathrm{supp} \psi_{x,h} &\subset [-R,R] \\ \mathrm{supp} \Psi_{x,h}&\subset[-R,R] \end{align*} $$

또한 $\phi$가 테스트 함수 이므로 $\psi_{x,h}$, $\Psi_{x,h}$는 미분 가능하고 $\psi_{x,h}$, $\Psi_{x,h}$와 도함수들 모두 $h \to 0$일 때 $0$으로 균등수렴한다. 그러면 초함수의 연속 조건에 의해서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \big[ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) \big] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \big[ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) \big] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\tilde{\phi}_{x+h}-\tilde{\phi}_{x}) \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\psi_{x,h}) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*} $$

따라서 $T\ast \phi$는 연속이다. 또한 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) }{h}- (T\ast \phi')(x)\right] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) }{h}- T(\tilde{\phi'}_{x})\right] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T\left( \frac{ \tilde{\phi}_{x+h} - \tilde{\phi}_{x} }{h}- \tilde{\phi'}_{x}\right) \\ =&\ \lim \limits_{h \to 0}T \left( \Psi_{x,h} \right) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*} $$

따라서 $T\ast \phi$는 미분가능하고 도함수는 $T\ast \phi'$이다. 같은 방식으로 $T\ast \phi$의 $n$계 도함수는 다음과 같음을 알 수 있다.

$$ \left( T \ast \phi \right)^{(n)}=T\ast \phi^{(n)}\quad \forall n\in \mathbb{N} $$


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p316-317 ↩︎

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