여유한위상과 여가산위상

여유한위상과 여가산위상

Cofinite topology and cocountable Topology

정의

$X$ 가 무한집합이라고 하자.

  1. $\mathscr{T}_{f} : = \left\{ \emptyset , X \right\} \cup \left\{ U \subset X : | X \setminus U | < \infty \right\}$ 를 여유한위상이라 한다.
  2. $\mathscr{T}_{c} : = \left\{ \emptyset , X \right\} \cup \left\{ U \subset X : | X \setminus U | = \aleph_{0} \right\}$ 를 여가산위상이라 한다.

설명

단어와 표현은 어렵지만 의미하는 바는 결국 여집합이 유한인 위상, 여집합이 가산인 위상이라는 말이다.

여유한위상은 $X$ 가 무한집합이 아니면 생각하는 의미가 없고, 유가산위상은 $X$ 가 불가산집합이 아니면 생각하는 의미가 없다. 만약 그런 경우 어떤 점을 제외하든 $X \setminus U$ 는 각각 유한, 가산이 되어서 결국 이산 공간이 되기 때문이다.

독특하면서도 한번은 꼬아서 생각해야하는만큼 이들의 성질에 익숙해지는 것은 그리 쉬운 일이 아니고, 이들이 정말 중요한 성질을 가졌다기보단 어떤 명제들의 반례를 찾기 위해 배우는 느낌이 강하다.

다음의 성질들을 직접 증명해보면서 여유한과 여가산이라는 것에 익숙해져보도록 하자.

정리

여유한공간 $X$ 의 부분공간 $A$ 와 여가산공간 $Y$ 의 부분공간 $B$ 에 대해 다음이 성립한다.

  • [1]: $A$ 가 무한집합이면 $A’ = X$
  • [2]: $A$ 가 유한집합이면 $A’ = \emptyset$
  • [3]: $B$ 가 불가산집합이면 $B’ = Y$
  • [4]: $B$ 가 가산집합이면 $B’ = \emptyset$
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