선팽창계수와 부피팽창계수
coefficient of linear expansion and volume expansion
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선팽창계수 고체가 열을 받아 팽창할 때 고체의 단위길이당 길이의 변화를 말한다.
예를 들어 길이가 $L$인 고체에 열을 가하고 난 뒤 길이가 $L+\Delta L$로 변했다면 해당 고체의 선팽창계수 $\alpha$를 구하는 과정은 다음과 같다. $$ \Delta L \propto L \Delta T $$
$$ \Delta L = \alpha L \Delta T $$
$$
\therefore \alpha=\dfrac{\Delta L}{L} \dfrac{1}{\Delta T} \left[ ^\circ \mathrm{C} ^{-1} \right]
$$
부피팽창계수 고체가 열을 받아 팽창할 때 고체의 단위 부피당 부피의 변화를 말한다. 고체의 선팽창계수가 $\alpha$일 때, 부피팽창계수 $\beta$는 선팽창계수의 3배이다. $$ \beta = 3\alpha $$
부피팽창계수는 선팽창계수의 세제곱과 같다고 예상할 수 있지만 실제로는 세배이다.증명 처음 부피를 $V=L^3$, 팽창 후 부피를 $V^{\prime}=(L+\Delta L)^3$라 하자.Part 1 $x$가 충분히 작을 때$(|x| \ll 1)$, $(1+x)^n \cong 1+nx$이다. 왜냐하면 이항정리에 의해 $$ (1+x)^n=\dfrac{n!}{0!n!}1+\dfrac{n!}{1!(n-1)!}x+\dfrac{n!}{2!(n-2)!}x^2+\dfrac{n!}{3!(n-3)!}x^3 + \cdots $$ 이므로 $x$의 크기가 충분히 작으면 2차 이상의 항은 그 크기가 너무 작아 무시할 수 있다. Part 2 $$ \begin{align*} V^{\prime} &= (L+\Delta L)^3 \\ &= L^3 \left( 1+\dfrac{\Delta L}{L} \right)^3 \\ &= L^3 \left( 1+3\dfrac{\Delta L}{L} \right) \\ &= V\left( 1+ 3\dfrac{\Delta L}{L} \right) \end{align*} $$ 3번째 등호는 Part 1 에 의해 성립한다. 계산을 마저 해보면 $$ V^{\prime}=V+3V\dfrac{\Delta L}{L} \\ \implies V^{\prime}-V = 3V\dfrac{\Delta L}{L} $$
$$ \therefore \Delta V=3V \dfrac{\Delta L}{L} $$ Part 3 $$ \Delta V \propto V \Delta T $$
$$ \Delta V = \beta V \Delta T $$ 따라서 $$ \begin{align*} \implies \beta &= \dfrac{\Delta V}{V} \dfrac{1}{\Delta T} \\ &= \dfrac{3V \frac{\Delta L}{L}}{V} \dfrac{1}{\Delta T} \\ &= 3 \dfrac{\Delta L }{L} \dfrac{1}{\Delta T} \\ &= 3\alpha \mathrm{} \end{align*} $$ 두번째 등호는 Part 2 에 의해 성립 $$ \therefore \ \beta=3\alpha $$
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이 때, $\beta$는 부피팽창계수, $\alpha$는 선팽창계수이다.