복소해석에서 특이점의 종류

복소해석에서 특이점의 종류

정의

특이점 1

  1. 함수 $f$ 가 $\alpha$ 에서 어떤 $\mathcal{N}(\alpha)$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $\alpha$ 에서 해석적Analytic이라고 한다.
  2. 함수 $f$ 가 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에서는 해석적이지는 않지만 모든 $\mathcal{N}(\alpha)$ 의 어떤 점에서는 해석적일 때 $\alpha$ 를 $f$ 의 특이점Singular Point이라고 부른다.
  3. 특이점 $\alpha$ 이 $\alpha$ 를 제외한 모든 점에서 해석적인 $\mathcal{N}(\alpha)$ 가 존재하면 $\alpha$ 가 고립Isolated되어있다고 한다.

종류

$\alpha \in \mathbb{C}$ 가 $f$ 의 특이점이라고 하자. 4. $\displaystyle \exists \lim_{z \to \alpha} f(z) \iff$ $\alpha$ 는 제거할 수 있는Removable 특이점이다. 5. $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha)^n f(z) = k \ne 0 \iff$ $\alpha$ 는 $n$차 극점Pole of Order $n$이다. 6. $\alpha$ 가 극점이 아니거나 분기에 연관되어 있다. $\iff$ $\alpha$ 는 본질적 특이점essential singular point다.

설명

극점은 특히 $n=1$ 이면 단순극Simple Pole이라 한다.

사실 아주 변태적인 경우가 아닌 이상은 보통 $f$ 가 정의되지 않는 점이 곧 특이점이 된다.

예를 들어, $\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}}$ 이라고 한다면 특이점은 $z= \pm i$ 이 될 것이다. 딱히 유한할 필요도 없는데, $\csc z$ 의 경우 $z = n \pi ( n \in \mathbb{Z} )$ 모두가 특이점이다. 한편 $\text{Log} z$ 은 $z= 0$ 에서 특이점을 가지는데, 위에서 들었던 예시와들과는 조금 다르다는 느낌이 들 것이다.

이러한 특이점의 분류는 언뜻 아무 의미 없는 정의놀음처럼 보이지만 후에 이어지는 적분에 대한 논의에서 아주 중요한 개념이 된다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p63. ↩︎

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