로랑 급수의 주부분과 특이점의 분류

로랑 급수의 주부분과 특이점의 분류

Classification among principal part and singular point of laurent Expansion

개요 1

로랑 전개의 principal part를 잘 살펴보면 특이점의 종류를 파악할 수 있다.

$\alpha$ 를 함수 $f:A\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 의 고립된 특이점이라 하자. 이의 로랑 전개 $$ f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } } $$ 에 대해, 수열 $b_{n}$ 은 아래의 성질들을 가진다.

정리

  • [1]: 모든 $n$ 에 대해 $b_{n}=0$ $ \iff$ $\alpha$ 는 제거가능한 특이점이다.
  • [2]: 어떤 $m$ 에 대해 $b_{m} \ne 0$ 이고 $b_{m+1} = b_{m+2} = \cdots = 0$ $\iff$ $\alpha$ 는 $m$차 극점이다.
  • [3]: 모든 $k$ 는 아니지만 $b_{k} \ne 0$ 을 만족하는 $k$ 가 무한히 존재한다. $\iff$ $\alpha$ 는 본질적 특이점이다.

설명

증명은 별로 중요하지 않고, 팩트조차도 알아두면 나쁘지 않은 정도다. 그래도 가끔씩은 이런 사실들이 도움이 될 때도 있으니 여유가 있다면 암기하고 없으면 이런 사실이 있었다는 정도만 알아두자.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p143. ↩︎

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