확장복소평면에서 원은 쌍선형변환에 대해 불변이다

확장복소평면에서 원은 쌍선형변환에 대해 불변이다

Circle is invariant to bilinear transform in extended complex plane

정리 1

모든 쌍선형변환은 $\overline { \mathbb{C} }$ 의 원을 $\overline { \mathbb{C} }$ 의 원으로 대응시킨다.

증명

일반적인 원의 방정식을 $$ a ( x^2 + y^2 ) + 2p x + 2q y + c = 0 $$ 로 나타내보자. 그리고 $B := p - iq$ 라 두면 복소평면 상의 $z = x + i y$ 에 대해 $$ az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0 $$ 을 얻을 수 있다. 이제 $az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0$ 에 선형변환 $\displaystyle w = {{z - \beta} \over {\alpha}}$ 와 반전 $\displaystyle w = {{1} \over {z}}$ 을 취해도 같은 형태임을 보이면 증명은 끝난다.


Case 1. 선형변환

$z = \alpha w + \beta$ 이므로 $$ a \alpha \overline{\alpha} w \overline{w} + (a \alpha \overline{\beta} + \alpha B ) w + (a \overline{\alpha} \beta + \overline{\alpha B} ) \overline{w} + ( a \beta \overline{ \beta } + ( \beta B + \overline{\beta B} ) + c ) = 0 $$


Case 2. 반전

$\displaystyle z = {{1} \over {w}}$ 이므로 $$ a + B \overline{w} + \overline{B} w + c w \overline{w} = 0 $$ 켤레복소수의 성질을 생각해보면 새로운 방정식은 모두 $az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0$ 와 같은 형태임을 알 수 있다.

설명

확장복소평면이란 단순히 복소평면 $\mathbb{C}$ 에서 무한대 $\infty$ 를 더해서 확장한 개념이다. 야매지만 수식으로 나타내보면 $\overline { \mathbb{C} } = \mathbb{C} \cup \left\{ \infty \right\}$ 이고, $\infty$ 를 ‘평면의 끝’ 처럼 생각해도 무관하다. 이러한 센스에서 $\infty$ 는 원점에서 무한히 먼 곳이라면 방향에 관계 없이 어디에나 존재하며, 당연히 음양을 따지지 않는다.

원은 한 직선상에 있지 않은 세 점에 의해 결정되므로, 위의 정리와 결부시켜보면 원 전체가 아니라 세 점만 신경쓰면 된다. 한편 확장복소평면 상에서 직선은 양 끝으로 $\infty$ 와 $\infty$ 를 가져서 그 둘이 연결된다고 보면 어떨까? 직선은 서로 다른 두 점에 의해 결정되므로, 거기에 $\infty$ 를 더해 세 점으로 원을 결정한다고 할 수 있을 것이다. 공간을 구부릴 수 있다면 이들은 복소평면을 둥글게 말아놓은 원통의 표면에서 정확히 ‘원’의 형태를 띄고 있는 것이다.

이러한 설명을 납득할 수 있다면 아래의 따름정리 역시 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이다. 등각사상에 대한 논의에 있어 이러한 팩트는 매우 중요하므로, 납득이 되지 않더라도 팩트로써는 알아두도록 하자.

따름정리

모든 쌍선형변환은 $\overline { \mathbb{C} }$ 의 직선을 $\overline { \mathbb{C} }$ 의 직선으로 대응시킨다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p202. ↩︎

댓글