카이제곱 분포

카이제곱 분포

정의 1

자유도 $r > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\chi^{2} (r)$ 를 카이제곱 분포chi-square Distribution라고 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} x^{r/2-1} e^{-x/2} \qquad , x \in (0, \infty) $$


기초 성질

적률 생성 함수

평균과 분산

충분통계량

정리

$k$차 적률

감마 분포와의 관계

F-분포 유도

표준정규분포의 제곱과의 관계

설명

카이제곱 분포는 통계학 전반에서 폭넓게 사용되는 분포로써, 보통 적합도 검정이나 분산분석 등에서 가장 먼저 접할 수 있다.

정리 [d]는 특히 중요한데, 이 정리의 대우명제에 따르면 표준화된 잔차Residuals의 제곱이 카이제곱분포 $\chi^{2} (1)$ 을 따르지 않을 때 잔차의 정규성에 문제가 있음을 탐지할 수도 있다.

증명

전략 [1], [a]: 치환 적분을 통해 정적분 기호 안에 있는 것들을 밖으로 빼고 감마함수로 바꾸는 트릭을 사용한다.

감마함수의 정의: $$ \Gamma (x) := \int_{0}^{\infty} y^{x-1} e^{y} dy $$

[1]

$y=x(1/2-t)$ 와 같이 치환하면 ${{ 1 } \over { 1/2 - t }}dy = dx$ 이므로 $$ \begin{align*} m(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} x^{r/2-1} e^{-x/2} dx \\ =& {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} \int_{0}^{\infty} x^{r/2-1} e^{x(1/2-t)} dx \\ =& {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} \int_{0}^{\infty} \left( {{ y } \over { 1/2 -t }} \right)^{r/2-1} e^{y} {{ 1 } \over { 1/2 - t }} dy \\ =& (1/2-t)^{-r/2}{{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} \int_{0}^{\infty} y^{r/2-1} e^{y} dy \\ =& (1-2t)^{-r/2}{{ 1 } \over { \Gamma(r/2) }} \int_{0}^{\infty} y^{r/2-1} e^{y} dy \end{align*} $$ 감마함수의 정의에 따라 $$ m(t) = (1-2t)^{-r/2} \qquad , t < {{ 1 } \over { 2 }} $$

[2]

적률 공식 [a]에 대입한다.

[a]

$y = x/2$ 와 같이 치환하면 $2 dy = dx$ 이므로 $$ \begin{align*} EX^{k} =& \int_{0}^{\infty} x^{k} {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} x^{r/2-1} e^{-x/2} dx \\ =& {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} \int_{0}^{\infty} x^{r/2+k-1} e^{-x/2} dx \\ =& {{ 1 } \over { \Gamma(r/2) 2^{r/2} }} \int_{0}^{\infty} 2^{r/2+k-1} y^{r/2+k-1} e^{-y} 2dy \\ =& {{ 2^{k} } \over { \Gamma(r/2) }} \int_{0}^{\infty} y^{(r/2+k)-1} e^{-y} 2dy \end{align*} $$ 감마함수의 정의에 따라 $$ E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }} $$

[b]

적률생성함수로 보인다.

[c]

조인트 밀도 함수로 직접 연역한다.

[d]

확률 밀도 함수로 직접 연역한다.


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p161. ↩︎

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