제1종 체비셰프 다항함수

제1종 체비셰프 다항함수


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제2종 체비셰프 다항함수제1종, 제2종 체비셰프 다항함수의 관계체비셰프 미분방정식의 해로써의 체비셰프 다항함수

$T_{n} (x) = \cos \left( n \cos^{-1} x \right)$ 을 제1종 체비셰프 다항함수라 한다.

[0]** $T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (X)$

[1]** 함수의 내적 $\displaystyle \left<f, g\right>:=\int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$ 에 대해 웨이트 $w$ 를 $\displaystyle w(x) := {{1} \over { \sqrt{1 - x^2} }}$ 와 같이 주면 $\left\{ T_{0} , T_{1}, T_{2}, \cdots \right\}$ 은 직교 집합이 된다.

$n = 0, \cdots , 3$ 에 대한 제1종 체비셰프 다항함수는 다음과 같이 나타난다.

$T_{0} (x) = 1 $$ T_{1} (x) = x $$ T_{2} (x) = 2x^{2} - 1 $$ T_{3} (x) = 4x^{3} - 3x$제1종 체피셰프 다항함수는 수치해석 뿐만 아니라 응용수학 전반에서 아주 유용하게 쓰이는 함수로써, 제2종 체비셰프 다항함수와 더불어 흥미로운 성질들을 풍부하게 갖는다.

한편 제1종 체비셰프 다항함수는 거꾸로 $T_{0} (x) = 1$, $T_{1} (x) = x$ 그리고 재귀식 [0] 을 이용해서 정의할 수도 있다. 이는 제2종 체비셰프 다항함수 역시 마찬가지고 $T_{0} (x) = U_{0} (x) = 1$ 이므로, 제1종과 제2종을 부르는 이유는 $T_{1} (x) = 1 \cdot x$ 와 $U_{1} (x) = 2 \cdot x$ 때문이라고 보아도 무방하다.**증명[0] $T_{n} (x) = \cos \left( n \theta \right)$ 이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $$ T_{n \pm 1} (x) = \cos (n \pm 1) \theta = \cos (n \theta ) \cos \theta \mp \sin ( n \theta ) \sin \theta $$ 양변끼리 더하면 $$ T_{n+1} (x) + T_{n-1} (x) = 2 \cos (n \theta ) \cos \theta = 2 T_{n} (x) x $$ $T_{n-1} (x)$ 를 이항해서 정리하면 정리하면 $$ T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (x) $$

증명[1]

$dx = - \sin \theta d \theta = - \sqrt{1 - x^2} d \theta$ 이므로 $$ \begin{align*} \displaystyle \left< T_{n}, T_{m} \right> =& \int_{-1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) {{1} \over { \sqrt{1 - x^2} }} dx \\ =& - \int_{\pi}^{0} \cos n \theta \cos m \theta d \theta \\ =& \int_{0}^{\pi} \cos n \theta \cos m \theta d \theta \\ =& \begin{cases} \pi/2 &, n=m \\ 0 &, n \ne m \end{cases} \end{align*} $$ 따라서 $\left\{ T_{0} , T_{1}, T_{2}, \cdots \right\}$ 은 직교 집합이다.

증명[3]

**Case 1. $n=0,1 $$ $T_{0} (-x) = 1 = T_{0} (x) $$

$$ T_{1} (-x) = (-x) = -x = - T_{1} (x) $$

Case 2. $n \ge 2$ 이 짝수$T_{n}(x)$ 에서 계수가 $0$ 이 아닌 모든 항의 차수는 짝수이므로 $T_{n}(-x) = T_{n}(x)$** **Case 3. $n \ge 2$ 이 홀수$T_{n}(x)$ 에서 계수가 $0$ 이 아닌 모든 항의 차수는 홀수이므로 $T_{n}(-x) = - T_{n}(x)$

아래는 R로 작성된 체비셰프 다항함수의 코드다.

다항함수 자체를 반환해주므로 바로 계산에 사용할 수도 있다.n은 차수, kind로 종류를 주고 print 옵션을 참으로 주면 계수를 출력해준다.

20181120\_125712.png 출력되는 계수는 상수항부터 고차항순으로 출력되며, 제1종 체비셰프 다항함수는 $T_{3} (x) = 4x^{3} - 3x$ 이므로 제대로 구해졌음을 알 수 있다. 함숫값 역시 $T_{3} (3) = 4 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 = 108-9 = 99$ 로 정확하게 계산되었다.

Chebyshev<-function(n,kind=1,print=F)
{
  p<-NA
  
  if((round(n)-n)!=0 | n<0) {stop("Wrong Degree!!")} #degree must be nonnegative integer
  if(!kind%in%(1:2)) {stop("Wrong Kind!!")} #kind must be 1 or 2
  
  if(n==0)
  {
    if(print) {print(1)}
    
    p<-function(x) {return(1)}
    return(p)
  }
  
  if(n==1)
  {
    if(print) {print(c(0,kind))}
    
    p<-function(x) {return(kind*x)}
    return(p)
  }
 
  coef0<-c(1)
  coef1<-c(0,kind)
  
  for(i in 1:(n-1))
  {
    coef2<- ( c(0,2*coef1) - c(coef0,0,0) )
    coef0<-coef1
    coef1<-coef2
  }
  
  if(print) {print(coef2)}
  
  p<-function(x)  {return(sum(coef2*x^(0:n)))}
  return(p)
}
 
p<-Chebyshev(1,1); p(2)
p<-Chebyshev(3,1,T); p(3)
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