체비셰프 미분방정식과 체비셰프 다항식

체비셰프 미분방정식과 체비셰프 다항식

정의

다음의 미분방정식을 체비셰프Chebyshev 미분방정식이라 한다.

$$ \begin{equation} (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0 \label{def1} \end{equation} $$

체비셰프 미분방정식의 해를 체비셰프 다항식이라 하고 이를 흔히 $T_n(x)$으로 표기한다. $T_n(x)$의 일반항은 아래와 같다.

$$ x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} $$

특히 처음 몇 개의 다항식은 아래와 같다.

$$ \begin{align*} T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_3(x) &= 4x^3-3x \\ \vdots & \end{align*} $$

정리

체비셰프 다항식 $T_{n}$에 대해서 다음의 등식이 성립한다.

$$ T_n(\cos t)= \cos (nt) $$

설명

$T_n(x)$는 $x$에 대한 $n$차 다항식이었으므로 $T_n(\cos t)$는 $\cos t$에 대한 다항식이다. 따라서 체비셰프 다항식은 $\cos (nt)$를 $\cos t$에 대한 $n$차 다항식으로 전개한 것 이라고도 이해할 수 있다.

$n=2,\ 3$일 때 잘 들어맞는지 확인해보면

$$ \cos 2t=\cos ^2 t-1=T_2(\cos t)\iff T_2(x)=x^2-1 $$

$$ \cos 3t=4\cos ^3 t-3\cos t=T_3(\cos t) \iff T_3(x)=4x^3-3x $$

또한 $x=\cos t$이므로 $\arccos x=t$이고 위의 식에 대입하면

$$ T_n(x)=\cos(n\arccos x) \quad \text{or} \quad T_{n}(x) = \cos (n\cos^{-1}x) $$

증명

Strategy: $x=\cos t$로 치환했을 때 $y=\cos (nt)$가 체비셰프 미분방정식의 해가 됨을 보일 것이다.


$x=\cos t$라고 하면

$$ dx=-\sin t dt \quad \implies \quad \dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{\sin t} $$

따라서 $y^{\prime}$은 다음과 같다.

$$ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{dy}{dt} $$

$y^{\prime \prime}$은 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \dfrac{d^2 y}{dx^2} &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \\ &= \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx} \right) \dfrac{dt}{dx} \\ &=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{1}{\sin t} \\ &= \dfrac{1}{\sin t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin^2 t}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{d^2y}{dt^2} \right) \\ &= \dfrac{1}{\sin ^2 t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}+ \dfrac{d^2y}{dt^2} \right) \end{align*} $$

위 식들을 $\eqref{def1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ (1-\cos ^2t)\dfrac{1}{\sin ^2 t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}+ \dfrac{d^2y}{dt^2} \right)-\cos t \left( -\dfrac{1}{\sin t} \right)\dfrac{dy}{dt} +n^2y=0 $$

정리하면

$$ y^{\prime \prime}+n^2y=0 $$

즉 $T_{n}(\cos t)$는 위 미분방정식의 해이다. 그런데 위 식은 아주 간단한 2계 미분 방정식이고 일반해는 $y=C_1\cos (nt) + C_2\sin (nt)$이다. 따라서

$$ T_n(\cos t)=\cos (nt) $$

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