특성 함수, 지시 함수
characteristic function
정의
$A \subset X$에 대해서 아래와 같이 정의되는 함수 $\chi_{A} : X \to \mathbb{R}$를 특성 함수characteristic function 혹은 지시 함수indicator function 라 한다.
$$ \chi _{A}(x) := \begin{cases} 1, & x\in A \\ 0 ,& x \notin A \end{cases} $$
설명
$\chi$는 그리스 문자 카이이다. 학창시절 수학 선생님이 엑스를 $\chi$로 쓰면 안되고 $x$로 써야한다고 말씀하신 이유는 말 그대로 $\chi$는 엑스가 아니기 때문이다. 특히 위와 같이 강력한 의미를 갖고 있기 때문에 함부로 쓰면 좋지 않다.
수학과에서 이를 특성 함수라고 읽는 경우는 거의 없고 영단어 그대로 [캐릭터리스틱 펑션]이라고 읽는다. 주로 정적분이 포함된 방정식에서 적분 범위를 바꿔주는 트릭을 쓰기 위해서 많이 사용된다. 예를 들어 다음과 같다. $$ \int _{a} ^{b}f(x)g(x) dx=\int _{-\infty}^{\infty}\chi_{[a,b]}f(x)g(x)dx $$
과목에 따라서는 다음과 같이 볼드 1로 나타내기도 한다. 어느 쪽이 더 많이 쓰인다는 건 딱히 없지만, 아무래도 $\chi$ 는 다양한 분야에서 각자 나름의 의미를 갖는 것에 비해 $\mathbf{1}$ 는 어지간해선 지시 함수만을 말하기 때문에 책이 아닌 논문에서는 $\chi$ 보다 $\mathbf{1}$ 이 더 많이 쓰이는 것 같다. $$ \mathbf{1}_{A} = \chi _{A}(x) $$