측도론으로 정의되는 특성 함수와 적률생성함수

측도론으로 정의되는 특성 함수와 적률생성함수

Characteristic Function and moment generating function in terms of measure theory

정의 1

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.확률 변수 $X$ 과 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\varphi_{X} (t)$ 를 $X$ 의 특성 함수라고 한다. $$ \varphi_{X} (t) := E \left( e^{i t X} \right) = \int_{\mathbb{R}} e^{it x} f_{X} (x) dx $$


  • 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다.

설명

확률 변수 $Z : = X + i Y$ 는 두 확률 변수 $X, Y : \Omega \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 성질을 갖도록 정의된다. $$ \int Z dP = \int X dP + i \int Y dP $$ 그러면 특성 함수는 그 기대값 표현과 오일러 공식에 따라 $$ \begin{align*} \varphi_{X} (t) =& E \left( e^{i t X} \right) \\ =& \int \left[ \cos(tX) + i \sin (t X) \right] dP \\ =& \int e^{it X} dP \\ =& \int \cos ( tX ) dP + i \int \sin ( t X ) dP \end{align*} $$ 이고, $e^{itX}$ 는 복소수로 잘 확장되었음을 확인할 수 있다.

특성 함수는 그 모양부터가 적률생성함수 $M(t) = E \left( e^{tX} \right)$ 빼다박았는데, 실제 확률론에서도 그와 흡사한 용도로 자주 쓰인다. 복소수가 도입된다는 점은 별로 무서워하지 않아도 좋다. 특성 함수로 mgf를 유도하는 것은 간단하다. $T \in \mathbb{R}$ 에 대해 $t = -i T$ 라고 두면 $$ \begin{align*} \varphi_{X} (t) =& E \left( e^{i t X} \right) \\ =& E \left( e^{i (- i T) X} \right) \\ =& E \left( e^{T X} \right) \\ =& M(T) \end{align*} $$ 와 같이 $T$ 에 대한 적률생성함수가 된다. 특성 함수는 mgf와 거의 같은 것으로 보아도 무방하다.

20190911\_111006.png

한편 수학 전반에서 특성Characteristic이라는 표현이 엄청나게 많이 쓰이는데, 확률론을 공부하는 입장에서는 ‘우리 특성 함수가 찐이다’라는 자부심을 가져도 좋을 것 같다. 적어도 구글로 검색했을 때 가장 상위에 노출되는 것은 확률론에서의 특성 함수다. 다른 분야에서 ‘특성’은 주로 비교적 어려운 문제가 있을 때 그것을 $n$차 방정식으로 바꾸고 그 ‘특징’만 남겨서 연구하려고 쓰는 표현인데, 당연히 그 방정식 자체에 관심을 두지는 않는다. 물론 $\varphi_{X}$ 역시 보통은 $X$ 의 분포를 연구하기 위해서 쓰지만 다른 분야에 비해서는 훨씬 자주, 중요하게 다루는 것이 사실이다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p116. ↩︎

댓글