어트랙터의 카오스

어트랙터의 카오스

Chaotic attractor

빌드업

공간 $X = \left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ 와 함수 $f,g : X \to X$ 에 대해 벡터 필드, 맵이 다음과 같이 표현된다고 하자. $$ x' = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$

$\phi(t, \cdot)$ 은 벡터 필드 $x' = f(x)$ 의 플로우, $g^{n}$ 는 맵 $g$ 를 $n$ 번 취한 을 나타내고, $\Lambda \subset X$ 가 $\phi(t, \cdot)$ 혹은 $g(\cdot)$ 하에서 불변 컴팩트 집합이라고 하자.

$\phi(t,x)$ 혹은 $g(x)$ 가 $\Lambda$ 에서 초기값에 민감하다Sensitive Dependence on Initial Conditions는 것은 모든 $x \in \Lambda$ 에 대해 다음을 만족하는 $\varepsilon > 0$ 이 존재하고 $x$ 의 모든 네이버후드 $U$ 에 대해 다음을 만족하는 $y \in U$ 과 $t > 0$ 가 존재한다는 것이다. $$ \begin{align*} \left\| \phi(t,x) - \phi(t,y) \right\| > \varepsilon \text{ or } \left\| g^{n} (x) - g^{n} (y) \right\| > \varepsilon \end{align*} $$

위의 수식은 초기값이 바뀜에 따라 우리가 원하는만큼의 짧은 시간 후에 우리가 원하는만큼의 차이가 큰 것을 그대로 기술한 것으로, ‘초기값에 민감하다’라는 표현에 부족함이 없다.

이에 더불어 다음의 두가지 개념이 더 필요하다.

어트랙터의 정의: 닫힌 불변 집합 $A$ 가 모든 오픈 셋 $V_{1},V_{2} \subset A$ 에 대해 다음을 만족하면 위상적으로 추이적Topologically Transitive이라 한다.

  • (V): $\phi \left( t, V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$ 인 $t \in \mathbb{R}$ 이 존재한다.
  • (M): $g^{n} \left( V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$ 인 $n \in \mathbb{Z}$ 이 존재한다.

어트랙팅 셋이 위상적으로 추이적이면 어트랙터라 한다.

거리공간에서의 조밀성: 거리 공간 $\left( X , d \right)$ 에 대해 $A \subset X$ 라고 하자.

  • $\overline{A} = X$ 일 때, $A$ 가 $X$ 에서 조밀하다dense고 한다.

정의

$\Lambda$ 가 다음 두 조건을 만족하면 캐어릭Chaotic하다고 한다:

  • (i): $\phi(t,x)$ 혹은 $g(x)$ 가 $\Lambda$ 에서 초기값에 민감하다.
  • (ii): $\phi(t,x)$ 혹은 $g(x)$ 가 $\Lambda$ 에서 위상적으로 추이적이다.
  • (iii): $\phi(t,x)$ 혹은 $g(x)$ 의 피리어딕 오빗들은 $\Lambda$ 에서 조밀하다.

직관적 설명

카오스 이론에서 카오틱 어트랙터란 그 분과의 이름이 될만큼 중요하고 관심을 가지는 개념이다. 다만 수학적, 이론적으로 너무 멀리 와버렸기 때문에 직관적으로 이해하기는 어려울 수 있다. 다음의 움짤을 보자:

lorenz\_attractor.gif

이 움짤은 로렌츠 어트랙터의 궤적Trajectory을 그려내고 있다. 처음에는 왼쪽에서만 점점 커지며 도는 듯하다가 어느 순간부터 아무런 규칙 없이 좌우를 누비고 다니는데, 같은 곳을 지나치지는 않으면서 어딘가 먼 곳으로 떠나지도 않는다. 이것은 동역학에서 관심을 가지는 케이어스Chaos의 대표적인 예시다.

이것이 피리어딕 오빗을 나타내지 않는다는 것은 공간 상의 점이 비슷한 곳을 도는 것처럼 보이지만 한번 있었던 점으로는 두번 다시 돌아가지 않는다는 것을 의미한다. 이 점이 그리는 ‘나비 모양의 궤적’이 바로 이상한 어트랙터다.

수식적 설명

  • (0): 컴팩트하다는 조건이 없을 경우 아래의 조건을 만족하면서도 미래가 뻔히 보이는 반례가 많이 생긴다. 나이브한 예로써 $a>0$ 에 대해 $x' = ax$ 같은 시스템이 있다면 그 솔루션은 $\phi(t,x) = e^{at} x$ 이므로 초기값에 민감은 하다. 그러나 저 멀리 무한대로 발산해나간다는 것을 혼돈이라 부르기엔 말이 되지 않는다.
  • (i): 동역학계는 결정론적Deterministic이기 때문에 초기값에 민감하다는 말이 미래에 대한 ‘불확실성’을 의미하게 된다. 비전공자들 사이에서 카오스 이론이라고 하면 흔히 가지고 있는 환상인 ‘나비 이론’, 그러니까 ‘나비의 날개짓 날개짓이 지구 반대편에서는 폭풍이 되지도 모른다’는 말을 담백하고 과장 없이 수식으로 적어낸 것이다.
  • (ii): 위상적으로 추이적이라는 것은 쉽게 말해 $\Lambda$ 안의 어떤 점이든 시스템에 의해 $\Lambda$ 의 어느 곳에서 올 수도 있고 어느 곳으로 갈 수도 있다는 말이다. 이러한 조건이 없다면 어떤 일관된 흐름에 따라 한 점에서 수렴하거나 발산하는, 정돈된 시스템도 혼돈스럽다고 해야할 것이다.
  • (iii): 저자에 따라서는 이 조건을 굳이 넣지 않을 경우도 있다. 사람마다 다를 수도 있다는게 이상하게 보이겠지만 그만큼 혼돈이라는 것 그 자체가 말로 표현하기 어렵다는 것을 감안하자. ‘피리어딕 오빗’이라는 말 자체에서 이미 그 오빗이 혼돈스럽지 않아보일 수 있겠지만 위 두 조건을 지키는 이상 꼭 그렇지만도 않다. 이 오빗이 $\Lambda$ 에서 조밀하다는 것은 만약 그 안의 피리어딕 오빗이라면 적어도 $\Lambda$ 에서만큼은 딱히 ‘빈틈’이라고 할만한 부분이 없도록 $\Lambda$ 의 구석구석을 모두 들쑤시고 다녀야한다는 의미가 된다. 거꾸로 말해, 이 조건을 만족시키기 위해 $\Lambda$ 안에서 고정점을 제외하는 식으로 반례를 제거할 수도 있다.

이상한 어트랙터?

어트랙터 $\mathcal{A} \subset X$ 가 캐어릭하면 이상한 어트랙터Strange Attractor라고 정의한다. 널리 퍼진 한국어 순화로는 ‘야릇한 끌개’가 있는데, 어떻게 봐도 전혀 원문의 의미를 살리지 못했다.

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