군론에서의 코시 정리 증명

군론에서의 코시 정리 증명

Cauchys Theorem

정리 1

유한군 $G$ 에 대해 소수 $p$ 가 $|G|$ 의 약수면 $|H| = p$ 를 만족하는 부분군 $H \leqslant G$ 가 존재한다.

설명

보통 코시 정리라고 할 때 이 정리를 떠올리지는 않는다. 또다른 코시 정리는 복소해석의 근간을 이룰만큼 중요한 정리인데, 이 정리는 별로 언급 될 일이 없다. 무엇보다도 제1 쉴로브 정리로 일반화되기 때문에 굳이 코시 정리를 써야할 경우는 극히 드물다.

알아둬서 도움이 될지는 모르겠지만 증명 방법은 세팅부터 시작해서 여러가지로 굉장히 독특하다. 흥미본위로라도 한 번 정도는 직접 증명해보는 것을 추천한다.

증명

$i=1 , \cdots p$ 에 대해 $g_{i} \in G$ 이고 $G$ 의 항등원을 $e$ 라고 하자. 집합 $$ X := \left\{ (g_{1} , \cdots , g_{p}) \ | \ g_{1} \cdots g_{p} = e \right\} $$ 와 대칭군 $S_{p}$ 를 생각해보자.

$\rho_{1} \in S_{p}$ 은 $X$ 의 튜플을 한칸씩 밀어내는 순열로써, $$ \rho_{1} (g_{1}, g_{2} , \cdots , g_{p-1} , g_{p}) = (g_{2}, g_{3} , \cdots , g_{p} , g_{1}) $$ 와 같은 작용을 한다. 정의에서 $g_{p} = (g_{1} \cdots g_{p-1} )^{-1}$ 으로 특정되므로 $|X| = |G|^{p-1}$ 이고 $p$ 가 $|G|$ 의 약수이므로, $p$ 는 $|X|$ 의 약수다.

$p$-군의 성질: 유한군 $G$ 가 $p$-군이라고 하고 $X$ 가 $G$-집합이면 $|X| \equiv |X_{G}| \pmod{p}$

$| \left< \rho_{1} \right> | = p$ 이므로 $$ |X| \equiv \left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right| \pmod{p} $$ 이고, $p$ 는 $\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ 의 약수기도 하다. 이는 곧 $\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ 에 $(e, e, \cdots , e)$ 가 됐든 $(g , g , \cdots , g )$ 가 됐든 모든 성분이 같은 튜플이 적어도 $p$ 의 배수만큼 있다는 뜻이다. 그런데 이런 원소들이 $\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$ 에 속한다는 것 자체가 $g \cdots g = g^p = e$ 임을 의미한다. 따라서 아무리 못해도 $\left< g \right> = p$ 를 만족하는 $\left< g \right>$ 는 $G$ 의 부분군이 됨을 확인 할 수 있다.

같이보기


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p322. ↩︎

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