코시 수열

코시 수열

정의

모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해서 $n , m \ge N \implies | x_{n} - x_{m} | < \varepsilon$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 수열 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 코시Cauchy라 한다.

정리

$\mathbb{R}$ 에서 코시 수열과 수렴하는 수열은 동치다.

설명

세상에 발산하면서도 중요한 수열은 별로 없다는 점을 생각해보면 여기에 이름을 붙인 ‘코시’가 대단한 학자였음을 짐작할 수 있다. 고등학교를 졸업한지 얼마 지나지 않은 학생 역시 코시-슈바르츠 부등식이라는 이름을 듣곤 했을테니 아주 낯설지는 않을 것이다. 참고로 코시의 별명은 ‘해석학의 아버지’다.

$| x_{n} - x_{m} | < \varepsilon$ 이라는 표현은 수렴성에만 집착한 표현이라고 보아도 좋다. 코시 수열은 수식만 만족한다면야 어디로 수렴하는지는 알 바가 아니다. 이는 반대로 말해서 어디로 수렴하는지가 정해져 있다면 논리 전개가 더 편해진다는 것이다.

이미 $\displaystyle x := \lim_{n \to \infty} x_{n}$ 으로 두었다면 수렴성은 보장되었으므로 $x$ 가 적절한 집합에 속하는지를 보이는 것이 관건이다. 그런데 그게 어렵다면 거꾸로 코시 수열 $x_{n}$ 이 $x$ 로 수렴하는 걸 보이는 게 낫다. 수렴 판정법이 많이 알려져있고 보통은 수렴하는 게 정상이어야할 $x_{n}$ 의 특성상, 이 방법이 더 쉬운 경우가 많다.

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