거리공간에서 코시수열과 완비

거리공간에서 코시수열과 완비

정의

설명

아래의 정리에 의해 모든 컴팩트 거리공간과 유클리드 공간은 완비라는 것을 알 수 있다.

정리

(a) 거리공간에서, 모든 수렴하는 수열은 코시 수열이다.

(b) $X$가 컴팩트 거리공간이고 $\left\{ p_{n} \right\}$이 $X$에서 코시수열이라고 하자. 그러면 $\left\{ p_{n} \right\}$은 어떤 $p\in X$로 수렴한다.

(c) $\mathbb{R}^{k}$에서 모든 코시 수열은 수렴한다.


(a), (b) 를 같이 적으면 ‘컴팩트 거리공간에서 수렴하는 수열과 코시 수열은 동치이다’가 된다.

증명

(a)

$p_{n} \to p$이고 $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $\forall n \ge N,\ d(p,p_{n})<\varepsilon$을 만족하는 $N$이 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ d(p_{n},p_{m}) \le d(p_{n},p)+d(p,p_{m})<2\varepsilon,\quad \forall m,n\ge N $$

그러므로 정의에 의해 $\left\{ p_{n} \right\}$은 코시 수열이다.

(b)

$\left\{ p_{n} \right\}$을 컴팩트 거리공간 $X$에서의 코시 수열이라고 하자. 그리고 자연수 $N$에 대해서 다음과 같다고 하자.

$$ E_{N}=\left\{ p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\cdots\right\} $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N\to\infty}\mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}=0 \label{eq1} \end{equation}$$

또한 $\overline{E_{N}}$은 컴팩트 공간 $X$의 닫힌 부분집합이므로, $\overline{E_{N}}$은 컴팩트이다. 또한 다음의 식이 성립하는 것은 자명하다.

$$ E_{N}\supset E_{N+1} \quad \text{and} \quad \overline{E_{N}}\supset \overline{E_{N+1}} $$

따라서 위 조건으로부터 $\forall N \in \mathbb{N},\ p \in \overline{E_{N}}$를 만족하는 유일한 $p \in X$가 존재한다1는 사실을 알 수 있다. 이제 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\eqref{eq1}$에 의해

$$ N \ge N_{0}\implies \mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}< \varepsilon $$

가 성립하는 $N_{0}$가 존재한다. 그런데 $\mathrm{diam\ }\overline{E}=\mathrm{diam\ }E$이고 $p \in \overline{E_{N}}$이므로 모든 $q \in E_{N}$에 대해서 $d(p,q)<\varepsilon$가 성립한다. 이를 다르게 말하자면 다음과 같다.

$$ n \ge N_{0} \implies d(p_{n},p)< \varepsilon $$

이는 $p_{n}\to p$의 정의이므로 $\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$

(c)

$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$를 $\mathbb{R}^{k}$에서 코시 수열이라고 하자. $E_{N}$을 증명 (b) 에서와 같은 것이라고 하자. 그러면

$$ \mathrm{diam\ } E_{N} <1 $$

을 만족하는 $N$을 선택했다고 하자. 그리고

$$ r=\max \left\{ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{1}),\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{2}),\ \cdots,\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{N-1}),\ 1 \right\} $$

이라고 하면 $\forall m,n \in \mathbb{N},\ d(\mathbf{x}_{n},\mathbf{x}_{m}) <r$이므로 $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$은 유계이다. 그러면 $\overline{ \left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}}$는 닫혀있고 유계인 $\mathbb{R}^{k}$의 부분집합이므로 컴팩트이다. 그러면 $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$는 컴팩트 공간의 코시 수열이고 따라서 (b) 에 의해 $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$은 수렴한다.


  1. 정리(b) 참고 ↩︎

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