르벡 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식

르벡 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식

정리1

$f,g \in L^{2} (E)$면 $fg \in L^{1}(E)$이고 다음이 성립한다.

$$ \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

여기서 $\| \cdot \|_{2}$은 $L^{2}$ 공간, $\| \cdot \|_{1}$은 $L^{1}$ 공간의 놈이다.

설명

함수해석학 정도를 배우고 있다면 이 부등식에 왜 코시-슈바르츠라는 이름이 붙었는지 바로 감이 와야한다. 사실 내적이 정의된다면 코시-슈바르츠 부등식은 어디서나 찾을 수 있다. 횔더 부등식으로 일반화할 수 있다.

증명

$$ \int_{E} fg dm \le \int_{E} |fg| dm \le \int_{E} | f + g |^2 dm < \infty $$

이므로 $fg \in L^{1}$이다. 한편 $\displaystyle (x - y)^2 \ge 0$에서 다음을 얻는다.

$$ xy \le \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right) $$

같이보기


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p132. ↩︎

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