내적 공간에서 코시-슈바르츠 부등식

내적 공간에서 코시-슈바르츠 부등식

정리1

$(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$가 내적 공간이라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립하고 이를 코시-슈바르츠 부등식Cauchy-Schwarz inequality 이라 한다.

$$ \left| \langle x,y \rangle \right| \le \langle x,x \rangle^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2},\quad \forall x,y \in H $$

설명

내적으로부터 놈을 정의할 수 있으므로 다음의 식으로 표현할 수도 있다.

$$ \left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \le \left\| x \right\| \left\| y \right\|,\quad \forall x,y\in H $$

증명


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p62-23 ↩︎

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