코시 문제, 초기값 문제

코시 문제, 초기값 문제

Cauchy Problem in PDE

정의1

열린집합 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$에서 정의된 편미분방정식이 주어졌다고 하자. 시간이 $t=0$일 때의 $\Omega$에서 미지수 $u$의 값, 다시 말해 초기값initial value이 주어졌다고 하자. 이러한 편미분방정식의 해를 찾는 문제를 코시 문제Cauchy problem 혹은 초기값 문제initial value problem라고 한다.

설명

약자인 IVP가 흔히 쓰이는 편이다.

예시

가령 열 방정식의 코시 문제를 푼다는 것은 다음과 같은 조건이 주어졌을 때의 해를 찾는 것이다.

$$ \left\{ \begin{align*} u_{t} -\Delta u &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \\ u &= g && \text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{align*} \right. $$

같이보기


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p57 ↩︎

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