위상공간의 데카르트 곱

위상공간의 데카르트 곱

정의 1

인덱스 집합 $\mathscr{A}$ 에 대해 $\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 위상공간들의 집합이고 $O_{\alpha}$ 을 $X_{\alpha}$ 에서 열린 집합이라고 하자.

  1. 데카르트 곱 $\displaystyle X := \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha}$ 에 대해 $p_{\alpha} : X \to X_{\alpha}$ 를 사영Projection이라 한다.
  2. 부분기저 $\mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( O_{\alpha} ) \ | \ O_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 에 의해 생성되는 $X$ 의 위상을 곱위상Product Topology라 한다.
  3. 기저 $\displaystyle \mathscr{B} : = \left\{ \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} O_{\alpha} \left. \ \right| \ O_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 에 의해 생성되는 $X$ 의 위상을 상자위상Box Topology라 한다.

정리

$\mathscr{A} = \mathbb{N}$ 이라고 하자.

설명

하필 정의에 이해하기도 서술하기도 부분기저가 등장하는 것은 교집합을 쓰기 위한 이유가 크다. 기저의 정의 상으로는 합집합 외엔 나올 여지가 없기 때문이다.

부분기저의 정의에 따라 곱위상의 부분기저 $\mathscr{S}$ 로 만들어지는 기저는 $$ \left\{ \left. \bigcap_{i=1}^{n} p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \ \right| \ p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \in \mathscr{S} \right\} $$ 이다.당연하지만 상자위상의 기저 $\mathscr{B}$ 에 대해 $$ \left\{ \left. \bigcap_{i=1}^{n} p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \ \right| \ p_{\alpha_{i} }^{-1} ( O_{ \alpha_{i} } ) \in \mathscr{S} \right\} \subset \mathscr{B} $$ 가 성립한다. 상자위상의 기저가 곱위상의 부분기저에서 만들어지는 기저를 포함한다는 것은 상자위상의 원소가 곱위상의 원소보다 같거나 많다는 뜻으로, 이에 대해 곱위상은 상자위상보다 작다Smaller,엉성하다Coarser, 약하다Weaker고 표현한다.

정리 [8]이 성립하는 것은 의외로 아주 드문 경우라는 뜻이다. 팩트로써 ‘상자 안에 곱이 들어있다’고 외우면 안 헷갈린다. 차원에 대한 일반화로 봤을 때 유한차원도 아니고 가산무한차원도 아니고 임의의 차원까지 건드린다는 것은 다소 충격적이다.

비전공자들이 보는 위상수학

하지만 위상수학에서 이러한 데카르트 곱을 생각하는 것은 다른 그 어떤 분야보다도 흥미롭다. 차원에 대한 일반화든 다변량 해석이든 다 좋지만, 이제서야 뭔가 대중에게 알려진 위상수학에 가까워지기 때문이다.

$I := [0,1]$ 와 $S^{1} = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 =1 \right\}$ 에 대해 아래의 공간을 생각해보자.

20180713\_181813.png 왼쪽부터 순서대로 정사각형 $I \times I$ , 원통 $I \times S^{1}$ , 토러스 $S^{1} \times S^{1}$ 이다.

한 점 컴팩트화부터 시작해서 이제야 무언가 공간이 휘고 접히는 느낌이 드는 수학이 된 것이다.

같이보기


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p113~114. ↩︎

댓글