군의 데카르트 곱

군의 데카르트 곱

정의 1

군 $G_{1} , \cdots , G_{n}$ 들의 데카르트 곱과 그 원소 $\displaystyle (a_{1},\cdots , a_{n}), (b_{1} , \cdots , b_{n} ) \in \prod_{i=1}^{n} G_{i}$ 에 대해 $$ (a_{1},\cdots , a_{n}) (b_{1} , \cdots , b_{n} ) = (a_{1} b_{1},\cdots , a_{n} b_{n}) $$ 이면 $\displaystyle \in \prod_{i=1}^{n} G_{i}$ 를 $G_{1} , \cdots , G_{n}$ 들의 직곱Direct Product이라 한다. 특히 $G_{1}, \cdots , G_{n}$ 이 가환군이면 $\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n} G_{i}$ 로 쓰고 직합Direct Sum이라고도 부른다.

설명

벡터 공간은 덧셈에 대해 군이지만 은 벡터공간이 아니므로 선형대수학과의 직합과 정확하게 일치하지는 않지만, 비교가 어떤 의미를 갖게 되려면 적어도 정도는 되어야한다.

예로써 클라인 사원군은 $V \simeq \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ 를 만족하며, $\gcd (m , n) = 1$ 이면 $\mathbb{Z}_{m} \times \mathbb{Z}_{n} \simeq \mathbb{Z}_{mn}$ 이 순환군이라는 정리 등이 알려져있다.

같이보기


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p104~105. ↩︎

댓글