집합의 기수

집합의 기수

정의 1

임의의 집합 $X$ 에 대해 다음의 성질들을 갖는 $\text{card} X$ 를 $X$ 의 기수Cardinality라고 정의한다.

특히, 유한집합의 기수를 유한기수라 하고 무한집합의 기수를 초한기수라고 한다.

  1. 집합 $A$, $B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 어떤 부분집합과는 대등하지만 $B$ 는 $A$ 의 어떤 부분집합과도 대등하지 않으면 $\text{card} A$ 가 $\text{card} B$ 보다 작다고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \text{card} A < \text{card} B $$
  2. 서로소인 두 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \text{card} A$, $b =\text{card} B$를 가질 때, 그 합집합의 기수를 $a$, $b$ 의 (기수) 합이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \text{card} \left( A \cup B \right):= a+b $$
  3. 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \text{card} A$, $b =\text{card} B$를 가질 때, 그 데카르트 곱의 기수를 $a$, $b$ 의 (기수) 곱이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \text{card} \left( A \times B \right):= ab $$
  4. 집합 $A$, $B$ 이 각각 기수 $a = \text{card} A$, $b =\text{card} B$를 가질 때, 정의역 $A$ 와 공역 $B$ 를 갖는 모든 함수들의 집합 $B^{A}$ 의 기수를 $b$ 의 $a$ (기수) 승이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$ \text{card} \left( B^{A} \right):= b^{a} $$

설명

기수는 ‘집합의 크기’를 추상화한 것으로, 무한집합에 대해서도 수학적으로 의미 있는 비교를 하기 위해 도입되었다고 보아도 무방하다. 집합의 크기에서 나온 개념이므로 집합론이 핵심이 아니거나 편하게 쓸 때는 $|X| := \text{card} X$ 와 같이 간략하게 나타내기도 한다.

기수는 다음과 같이 대수적으로 자연수와 비슷한 성질들을 가진다.

기초 성질 1

$x,y,z$ 가 기수라고 하자.


  1. 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach): p241. ↩︎

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