복소해석을 이용한 제곱수의 역수의 합 계산

복소해석을 이용한 제곱수의 역수의 합 계산

정리 1

$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

오일러의 풀이가 깔끔하고 멋지긴 한데 아이디어가 너무 기발해서 막상 써먹을데는 별로 없다. 복소해석을 공부하면서 가장 즐거운 점은 이러한 결과를 내는 숏컷이 바로바로 나온다는 것이다. 예제로도 좋으니 직접 한번 풀어보도록 하자.

증명

$\displaystyle f(z) : = {{1} \over {z^2}}$ 이라고 정의하면 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이다.

모든 정수에 대한 급수의 합 공식: 분수함수 $f$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty} z f(z) = 0, n \in \mathbb{Z}$ 에서 $f(n) \ne 0$ 이라고 하자. $f$ 가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ 을 가질 때, $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

완전히 바로 적용할 수는 없고, $n \ne 0$ 에 대한 예외 처리가 필요하다.

$F(z): = \pi f(z) \cot \pi z$ 라고 정의하면 $n \ne 0$ 에 대해선 $\text{Res}_{n} F(z) = f(n)$ 이다.

코탄젠트의 로랑 전개: $$ \cot z = {{1} \over {z}} - {{z} \over {3}} - {{z^{3}} \over {45}} - {{2 z^{5}} \over {945}} - \cdots \\ \csc z = {{1} \over {z}} + {{z} \over {6}} + {{7 z^{3}} \over {360}} + {{31 z^{5}} \over {15120}} + \cdots $$

한편 $n=0$ 의 근방에서는 $$ F(z) = {{\pi} \over {z^2}} \left( {{1} \over { \pi z}} - {{ \pi z} \over {3}} - {{ \pi^{3} z^{3}} \over {45}} - \cdots \right) $$ 이므로 $$ \text{Res}_{0} F(z) = - {{\pi^2} \over {3}} $$ $F$ 는 $n \in \mathbb{Z}$ 외에는 특이점을 갖지 않으므로 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) - {{\pi^2} \over {3}} + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) = 0 $$ $f$ 는 우함수이므로 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 이고 정리하면 $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

같이보기


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p185. ↩︎

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