편미분방정식에서 경계값 문제(BVP) 📂편미분방정식

편미분방정식에서 경계값 문제(BVP)

Boundary Value Problem in PDE

정의

열린집합 $\Omega$에서 정의된 편미분방정식이 주어졌다고 하자. $\Omega$의 경계인 $\partial \Omega$에서 미지수 $u$의 값이 주어졌다고 하자. 이를 경계조건boundary condition이라 한다. 편미분방정식과 경계조건을 묶어 경계값 문제boundary value problem라고 한다.

설명

약자인 BVP가 흔히 쓰이는 편이다.

경계값 문제를 푼다는 것은 주어진 편미분방정식에서 경계조건을 만족하는 솔루션 $u$를 찾는 것을 의미한다.

예시

  • 디리클레 경계조건

    $$ u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

  • 노이만 경계조건

    $$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

    이때 $\nu$는 외향 단위 법선 벡터이다.

  • 섞인 디리클레-노이만 경계조건mixed boundary conditions1

    $\partial \Omega$가 두 개의 서로 다른 닫힌 집합 $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$를 포함한다고 할 때,

    $$ \begin{align*} u = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{1} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{2} \end{align*} $$

  • 로빈 경계조건1

    $$ u + \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega $$

    같이보기


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p366 ↩︎

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