파동의 경계조건 반사 투과

파동의 경계조건 반사 투과

boundary conditoion of wave reflection transmission


🚧 이 포스트는 아직 이관 작업이 완료되지 않았습니다 🚧

위 그림과 같이 서로 다른 줄 2개가 묶여있다고 하자. 파동이 줄 1을 따라서 왼쪽에서 오른쪽으로 전파되는 상황이라고 하자. 파동의 전파 속도는 질량과 관계가 있으므로 줄이 묶인 곳을 지나면서 파동의 속도가 달라진다. 편의상 매듭의 위치를 $x=0$라고 하고 파동이 왼쪽에서 들어온다고 하자. 그러면 입사파$(\mathrm{incident\ wave})$를 복소 파동 함수 로 나타내면 아래와 같다. $$ \tilde {f} _{\text{I}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_1x-wt)},\quad x<0 $$ 입사파는 줄 1을 따라 다시 되돌아가는 반사파$(\mathrm{reflected\ wave})$와 줄 2를 따라 계속 진행하는 투과파$(\mathrm{transmitted\ wave})$를 만든다. $$ \tilde {f} _{\text{R}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_1x-wt)},\quad x<0 $$

$$ \tilde {f} _{\text{T}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_2x-wt)},\quad x>0 $$ 여기에서 주의해야할 점은 줄의 질량에 따라 파동의 속도는 변하지만 진동수 $\omega$는 변하지 않는다는 것이다. 파원이 같이 때문에 줄의 모든 부분에서 진동수는 $\omega$이고 변하지 않는다. 하지만 두 줄에서 파동의 속도가 다르기 때문에 파장과 파수는 달라진다. $$ \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{\frac{2\pi}{k_1}}{\frac{2\pi}{k_2}}=\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{v_1}{v_2} \quad \cdots (1) $$ $x<0$인 영역에서는 입사파와 반사파가 모두 있으므로 줄의 알짜 변위를 다음과 같이 나타낸다. $$ \tilde{f}(x,t) = \begin{cases} \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_1x-wt)} + \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_1x-wt)} & x<0 \\ \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_2x-wt)} & x>0 \end{cases} \quad \cdots (2) $$ 당연하게도 줄이 매듭$(x=0)$에서 끊긴 것이 아니라면 아래의 식이 성립해야한다. $f$는 $x=0$에서 연속이어야 한다는 말이다. $$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x,t) $$ 매듭의 질량을 무시할 수 있다면 $f$의 도함수도 $x=0$에서 연속이어야한다. $$ \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$ 그렇지 않으면 아래의 그림처럼 장력이 상쇄되지 않아서 매듭이 알짜힘을 받아 가속도가 계속해서 커지게 된다.위의 경계조건은 실수 파동함수 $f(x,t)$에 적용된 것이지만 복소 파동함수 $\tilde{f}$에도 그대로 적용된다. $\tilde{f}$의 허수부분은 실수부분의 코사인이 사인으로 바뀐 것 밖에는 차이가 없기 때문이다. 즉, $$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \tilde{f}(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \tilde{f}(x,t) \\ \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$ 위 조건을 $(2)$에 적용하면 아래의 두 식을 얻을 수 있다. $$ \tilde{A}_I+\tilde{A}_R=\tilde{A}_T \\ k_1 (\tilde{A}_I -\tilde{A}_R)=k_2\tilde{A}_T $$ 두 식을 연립하여 반사파와 투과파를 입사파로 나타내면 $$ \tilde{A}_R=\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\tilde{A}_I, \quad \tilde{A}_T=\dfrac{2k_1}{k_1+k_2}\tilde{A}_I $$ 본문이 길어져 계산과정을 생략했으니 궁금하다면 글 최하단을 참고하라$^{\ast}$. 또한 파수와 속도의 관계 $(1)$를 위 식에 적용시키면 $$ \tilde{A}_R=\dfrac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\tilde{A}_I, \quad \tilde{A}_T=\dfrac{2v_2}{v_2+v_1}\tilde{A}_I $$ 마찬가지로 계산 과정이 궁금하다면 글 하단을 참고하라$^{**}$. 따라서 실수 진폭과 위상의 관계는 다음과 같다. $$ A_Re^{i\delta_R}=\dfrac{v_2-v_1}{v_2+v_1}A_Ie^{i\delta_I}, \quad A_Te^{i\delta_T}=\dfrac{2v_2}{v_2+v_1}A_Ie^{i\delta_I} $$ 줄 2가 줄 1보다 가벼우면, $\mu_2 <\mu_1 \ \rightarrow v_1 < v_2 \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $이고 세 파동의 위상각이 모두 같다. $\delta_I=\delta_R=\delta_T$ 따라서 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_R=\dfrac{v_2-v_1}{v_2+v_1}A_I, \quad A_T=\dfrac{2v_2}{v_2+v_1}A_I $$ 줄 2가 줄 1보다 무거우면, $\mu_1 <\mu_2 \ \rightarrow v_2 < v_1 \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $이고 반사파의 위상은 $\pi$만큼 어긋난다. $\delta_R+\pi=\delta_I=\delta_T$. 그리고 $\cos(-k_1x-\omega t +\delta_I - \pi) =-\cos(-k_1x-\omega t +\delta_I)$이므로 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_R=\dfrac{v_1-v_2}{v_2+v_1}A_I, \quad A_T=\dfrac{2v_2}{v_2+v_1}A_I $$ 특히나 줄 2가 줄 1에 비해 아주 무거우면(혹은 1의 끝이 고정되어 있으면) $v_2 « v_1$이므로 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_R=A_I, \quad A_T=0 $$ 즉 투과파는 없고 모두 반사된다.


* $$ \tilde{A}_I+\tilde{A}_R=\tilde{A}_T \\ k_1 (\tilde{A}_I -\tilde{A}_R)=k_2\tilde{A}_T $$ 아래 식을 위 식에 대입하면 $$ \begin{array}{rc} & k_2(\tilde{A}_I + \tilde{A}_R) = k_1(\tilde{A}_I -\tilde{A}_R) \\ \implies & (k_1-k_2)\tilde{A}_I = (k_1+k_2)\tilde{A}_R \\ \implies &\tilde{A}_R = \dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\tilde{A}_I \end{array} $$ 위 식을 아래 식에 대입하면 $$ \begin{array}{rc} & k_1(\tilde{A}_I + \tilde{A}_I -\tilde{A}_T) = k_2\tilde{A}_T \\ \implies & 2k_1\tilde{A}_I = (k_1+k_2)\tilde{A}_T \\ \implies &\tilde{A}_T = \dfrac{2k_1}{k_1+k_2}\tilde{A}_I \end{array} $$ ** $$ \dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2}=\dfrac{\dfrac{k_1}{k_2}-1}{\dfrac{k_1}{k_2}+1}=\dfrac{\dfrac{v_2}{v_1}-1}{\dfrac{v_2}{v_1}+1}=\dfrac{v_2-v_1}{v_2+v_1} $$

$$ \dfrac{2k_1}{k_1+k_2}=\dfrac{2\dfrac{k_1}{k_2}}{\dfrac{k_1}{k_2}+1}=\dfrac{2\dfrac{v_2}{v_1}}{\dfrac{v_2}{v_1}+1}=\dfrac{2v_2}{v_2+v_1} $$

댓글