보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간

보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간

정리

$X$를 임의의 집합이라 하자. 그리고 공집합이 아닌 $A \subset \mathcal{P}(X)$가 주어졌다고 하자. 그러면 $A$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-대수인 $\mathcal{E}_A$가 존재한다.

증명

$\mathcal{E}_A$를 정의해서 그게 $\sigma$-대수가 되는 것을 보인 뒤 가장 작다[^2]는 것을 보이려고 한다.


$A$를 포함하는 모든 $\sigma$-대수의 집합을 $S$라고 하자.

$$ S:= \left\{ \mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)\ :\ \mathcal{E}\ \mathrm{is\ } \sigma \mathrm{-algebra, \ } A \subset \mathcal{E} \right\} $$

그러면 $\mathcal{P}(X) \subset S$인 것은 자명하다. 따라서 $S \ne \varnothing$이다. 이제 $\mathcal{E}_A := \bigcap \limits_{\mathcal{E} \in S} \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 $A \subset \mathcal{E}_A$이다. 또한 $\mathcal{E}_A$가 $\sigma$-대수가 됨을 보일 수 있다.

$\sigma$-대수

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수 라 한다.

  • (D1) $\varnothing, X \in \mathcal{E}$
  • (D2) $E \in \mathcal{E} \implies E^c \in \mathcal{E}$
  • (D3) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$
  • (D4) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall\ k \in \mathbb{N}) \implies \bigcap_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$

따라서 $\mathcal{E}_A$는 조건 (D1) ~ (D4) 를 만족하므로 $\sigma$-대수이다. 이제 $A$를 포함하는 또 다른 $\sigma$-대수를 $\mathcal{E}'$이라 하자. 그러면 집합 $S$의 정의에 의해 $\mathcal{E}' \in S$이고 자명하게 $\mathcal{E}_A \subset \mathcal{E}'$이다. 따라서 $\mathcal{E}_A$는 $A$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-대수이다.

정의


쉽게 말해서 보렐 대수란 모든 열린 집합을 원소로 가지는 가장 작은 $\sigma$-대수이다.특히, 보렐 대수에서 정의되는 모든 측도보렐 측도Borel measure라 부른다.

같이보기

댓글