보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간

보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간

Borel sigma algebra and Borel measurable space

정리

$X$를 임의의 집합이라 하자. 그리고 공집합이 아닌 $A \subset \mathcal{P}(X)$가 주어졌다고 하자. 그러면 $A$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-대수인 $\mathcal{E}_A$가 존재한다.

증명

$\mathcal{E}_A$를 정의해서 그게 $\sigma$-대수가 되는 것을 보인 뒤 가장 작다[^2]는 것을 보이려고 한다.


$A$를 포함하는 모든 $\sigma$-대수의 집합을 $S$라고 하자.

$$ S:= \left\{ \mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)\ :\ \mathcal{E}\ \mathrm{is\ } \sigma \mathrm{-algebra, \ } A \subset \mathcal{E} \right\} $$

그러면 $\mathcal{P}(X) \subset S$인 것은 자명하다. 따라서 $S \ne \varnothing$이다. 이제 $\mathcal{E}_A := \bigcap \limits_{\mathcal{E} \in S} \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 $A \subset \mathcal{E}_A$이다. 또한 $\mathcal{E}_A$가 $\sigma$-대수가 됨을 보일 수 있다.

$\sigma$-대수

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수 라 한다.

  • (D1) $\varnothing, X \in \mathcal{E}$
  • (D2) $E \in \mathcal{E} \implies E^c \in \mathcal{E}$
  • (D3) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$
  • (D4) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall\ k \in \mathbb{N}) \implies \bigcap_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$
  • (D1)

    각각의 $\mathcal{E}$가 $\sigma$-대수이므로 $\varnothing$, $X$를 포함하고 있다. 따라서 $\mathcal{E}_A$의 정의에 따라 $\varnothing$, $X\in \mathcal{E}_A$임은 자명하다.

  • (D2)

    $E \in \mathcal{E}_A$라 하자. 그러면 $\mathcal{E}_A$의 정의에 의해 각각의 $\mathcal{E}$에 대해서도 $E \in \mathcal{E}$이 성립한다. 각각의 $\mathcal{E}$는 $\sigma$-대수이므로 $E^c \in \mathcal{E}$이다. 따라서 $\mathcal{E}_A$의 정의에 의해 $E^c \in \mathcal{E}_A$이다.

  • (D3)

    조건 (D2) 를 보인바와 같이 $\mathcal{E}_A$의 정의와 각각의 $\mathcal{E}$가 $\sigma$-대수라는 사실을 이용하면 어렵지 않게 보일 수 있다. (D4)(D3) 가 성립하면 드모르간의 법칙에 의해 자동으로 성립한다.

따라서 $\mathcal{E}_A$는 조건 (D1) ~ (D4) 를 만족하므로 $\sigma$-대수이다. 이제 $A$를 포함하는 또 다른 $\sigma$-대수를 $\mathcal{E}’$이라 하자. 그러면 집합 $S$의 정의에 의해 $\mathcal{E}’ \in S$이고 자명하게 $\mathcal{E}_A \subset \mathcal{E}’$이다. 따라서 $\mathcal{E}_A$는 $A$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-대수이다.

정의

  • 이때 $\mathcal{E}_A$를 $A$에 의해서 생성된 $\sigma$-대수$\sigma$-algebra generated by A라 부르고 $\mathcal{G}(A)$로 표기한다.

  • 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 위상공간이라 하자. 위상의 정의에 의해 $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X)$이다. 따라서 위의 정리에 의해 $\mathcal{T}$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-대수가 존재한다. 이를 $\mathcal{B}_\sigma (X) :=\mathcal{G}(\mathcal{T})$로 표기하고 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 위의 보렐 $\sigma$-대수 혹은 간단히 보렐 대수Borel algebra라고 한다.

  • $\mathcal{B}_\sigma(X)$의 원소를 보렐 집합Borel set이라 하고 순서쌍 $(X,\mathcal{B}_\sigma(X) )$를 보렐 가측 공간Borel measurable space이라 한다.


쉽게 말해서 보렐 대수란 모든 열린 집합을 원소로 가지는 가장 작은 $\sigma$-대수이다.특히, 보렐 대수에서 정의되는 모든 측도보렐 측도Borel measure라 부른다.

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