보렐 집합

보렐 집합

정의 1

$\mathcal{F}$ 를 $\mathbb{R}$ 의 σ-필드라고 하자.

$\displaystyle \mathcal{B} : = \bigcap \left\{ \mathcal{F} \ | \ \mathcal{I} \subset \mathcal{F} \right\}$ 을 모든 구간의 집합 $\mathcal{I}$ 에 의해 생성되었다고 하고 $B \in \mathcal{B}$ 을 보렐 집합Borel Set이라 하고, $\mathcal{B}$ 를 보렐 시그마 필드라 부른다.


설명

쉽게 말해 모든 구간을 가지는 시그마 대수 중에 가장 작은 시그마 대수다. 있을 건 다 있으면서 쓸모 없는 것을 쳐내고 필요한 것만 딱 남기는 이미지를 떠올리면 된다.

난해해보이는 정의와 달리 보렐 집합의 쓰임새는 다양하며, 특히 확률론을 기술할 때 유용하다. 정의에 따라 보렐 집합은 구간끼리의 합집합이나 교집합으로 나타나며, 그 예로써 구간, 열린 집합, 가산 집합 등이 있다. 여기서 보렐 시그마 필드의 진짜 의도를 읽을 수 있어야한다. 보렐 집합은 말 그대로 ‘구간’이어서 중요한 게 아니라 ‘열린 집합’과 ‘닫힌 집합’들로 만들어진 집합이라는 게 중요한 것이다.

이러한 보렐 집합을 생각함으로써 우리는 위상수학의 여러가지 정리들을 사용할 수 있게 된다. 사실 위상공간만 하더라도 측도론의 여러 응용분야에서 보기에는 충분히 일반적이고 추상적이다. 이러한 논의를 납득한다면 보렐 시그마 필드도 다음과 같이 간단하게 쉽게 받아들일 수 있게 된다:

정리

이에 대해 다음이 성립한다.

일반화


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p0. ↩︎

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