쌍선형변환

쌍선형변환

정의 1

정의역에서 등각사상인 $f$ 를 다음과 같이 부른다.

  1. 이동Translation $f(z) = z + \alpha$
  2. 확대Magnification: $f(z) = \rho z$
  3. 회전Rotation: $f(z) = e^{i \theta} z$
  4. 반전Inversion: $f(z) = {{1} \over {z}}$
  5. 쌍선형변환Bilinear Trasform: $\displaystyle f(z) = {{ \alpha z + \beta } \over { \gamma z + \delta }}$

설명

1~4에서 가장 이질적인 것은 4. 반전이고, 그래서 1~3만을 합성한 것을 따로 선형변환Linear Transform이라고 한다. 어떤 도형이든 움직이거나 확대축소하거나 회전을 해도, 즉 선형변환을 취해도 모양 그 자체는 유지하지만 반전은 그렇지 않다.

쌍선형변환을 잘 살펴보면 1~4를 합성한 것으로, 뫼비우스Möbius에 의해 처음 연구되어 뫼비우스 변환이라고도 불린다. 미분하면 $\displaystyle f'(z) = {{ \alpha \delta - \beta \gamma } \over { ( \gamma z + \delta )^2 }}$ 인데, 등각사상의 조건을 만족시키기 위해선 $\alpha \delta \ne \beta \gamma$ 여야함에 주의하도록 하자.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p199~201. ↩︎

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