바이퍼케이션 다이어그램 📂동역학

바이퍼케이션 다이어그램

Bifurcation diagram

정의

동역학계에서 파라매터의 변화에 따라 나타나는 오빗을 표현한 그림을 바이퍼케이션 다이어그램이라 한다.

예시1

BD.png

예로써 로지스틱 패밀리를 생각해보면 파라매터 $a$ 의 변화에 따라 충분히 큰 $N$ 에 대해 $x_{N}$ 의 값은 다음 바이퍼케이션 다이어그램의 검은색 범위 안에 포함된다고 예상할 수 있다. $1<a<3$ 일 때는 하나의 선인 것을 보아 $x_N$ 은 하나의 고정점에서 머무르고, $3 < a < 3.4$ 일 땐 두 개의 선이므로 $x_{N}$ 이 둘 중 하나의 값으로 나타날 것이다. 둘 중 하나의 값으로 나타난다는 것은 $x_{n}$ 이 피리어딕-$2$ 오빗에 포함되어 있다는 것이다. 그러다 $a = 3.4$ 쯔음부턴 피리어딕-$2^2$ 오빗이 나타난다.

이런 센스에서 이 그림을 분기 그림이라 부르는 것은 타당해 보인다. 반면 $3.6<a$ 은 검은 범위가 점점 늘어나다가 $a=4$ 에서는 $0$ 부터 $1$ 까지 모든 값을 가질 수 있게 된다. 이것은 로지스틱 맵이 캐어릭하다는 것을 시각적이고 실험적으로 보여준 것이다. 이러한 의미에서 어떤 동역학계를 이해하려고 할 때 그 바이퍼케이션 다이어그램을 볼 줄 안다는 것은 굉장히 좋은 일이다.

$a < 3.5$ 일 때는 어느정도 이해할 수 있는 패턴이 있었는데 그 뒤로는 갑자기 캐어릭해졌다가 다시 피리어딕해졌다가 또 캐어릭해진다. 이러한 현상을 크라이시스Crisis라 한다. 한편 $a = 3.8$ 근처의 피리어딕한 구간을 피리어딕 윈도우Periodic Window라 한다.


  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p19. ↩︎

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