L2 공간에서의 베셀 부등식

L2 공간에서의 베셀 부등식

정리

$\left\{ \phi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$가 $L^{2}(a,b)$에서의 정규직교집합이라고 하자. 그리고 $f\in L^{2}(a,b)$라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \sum \limits_{n=1}^\infty \left| \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \right|^{2} \le \| f \|^{2} $$

설명

이를 베셀 부등식Bessel’s inequality이라 한다.

$L^2$ 공간

아래의 식을 만족하는 함수를 제곱적분가능square-integrable$하다고 한다.

$$ \int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty $$

구간 $[a,b]$에서 제곱적분가능한 함수들의 집합을 $L^2(a,b)$이라 한다.

$$ L^2(a,b) := \left\{ f\ \Bigg|\ \int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty \right\} $$

유한차원의 벡터공간 $\mathbb{R}^n$을 생각해보자. $\left\{\mathbf{e}_1,\ \cdots,\ \mathbf{e}_n \right\}$를 기저라고 하면 임의의 $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$에 대해서 아래의 식은 자명하게 성립한다.

$$ \sum_1^n | \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_i \right\rangle |^2=|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2=| \mathbf{a} |^2 $$

무한차원의 공간에 대해서도 위와 비슷한 얘기를 할 수 있다는 것이 베셀 부등식이 가지는 의미이다. 실제로 등식까지 성립 한다. 더 나아가 $\left\{ \phi_{n} \right\}_1^\infty$에 유한차원에서 정의한 기저와 비슷한 역할을 주려고 한다. 즉, 아래와 같은 표현을 쓸 수 있는지, 가능하다면 어떤 조건에서 가능한지를 알고자한다.

$$ f=\sum \limits_{1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n} $$

한편 베셀 부등식은 힐베르트 공간으로의 일반화가 가능하다.

증명

$\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle$은 스칼라임에 주의하라. 내적의 성질에 의해 $\left\langle f,ag \right\rangle = \overline{a}\left\langle f,g\right\rangle$이므로

$$ \left\langle f, \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\rangle=\overline {\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle = \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2} $$

또한 피타고라스 정리에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$ \left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2=\sum \limits_{1}^{N} \left\| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 = \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 $$

보조정리

$\mathbf{a},\ \mathbf{b}\in \mathbb{C}^n$이라고 하자. 그러면

$$ \left\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \right\|^{2} = \left\| \mathbf{a} \right\|^{2} + 2\text{Re}\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle + \left\| \mathbf{b} \right\|^{2} $$

따라서

$$ \begin{align*} 0 \le& \left\| f- \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} - 2\text{Re} \left\langle f,\ \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\rangle + \left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -2\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle \right|^2 + \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \end{align*} $$

두번째 등식에서 보조정리를, 세번째 등식에서 먼저 유도한 두 식을 사용했다. 따라서

$$ \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \le \left\| f \right\|^{2} $$

양변에 $N \rightarrow \infty$인 극한을 취하면

$$ \sum \limits_{1}^\infty | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle|^2 \le \left\| f \right\|^{2} $$

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