푸리에 급수에 대한 베셀 부등식

푸리에 급수에 대한 베셀 부등식

Bessel's Inequality for Fourier Series

공식

구간 $[-L,L)$에서 정의된 함수 $f$가 리만적분가능하면 아래의 부등식이 성립하고 이를 베셀 부등식이라 한다.

$$ \dfrac{1}{4}|a_{0}|^{2} +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2} \right) =\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} | c_{n} |^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^{2} dt $$

이때 $a_{0},\ a_{n},\ b_{n}$은 $f$의 푸리에 계수, $c_{n}$은 $f$의 복소 푸리에 계수이다.

증명

임의의 복소수 $z$에 대해서 $|z|^{2}= z \overline{z}$이므로,

$$ \begin{align*} 0 &\le \left| f(t)-\sum\limits_{n=-N}^{N}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right|^{2} \\ &=\left(f(t)-\sum\limits_{n=-N}^{N}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right) \left(\overline{f(t)}-\sum\limits_{n=-N}^{N} \overline{c_{n}} e^{-i\frac{n\pi t}{L}} \right) \\ &= |f(t)|^{2} - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left( f(t) \overline{c_{n}} e^{-i\frac{n\pi t}{L}} + \overline{f(t)}c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}e^{i\frac{(m-n)\pi t}{L}} \end{align*} $$

첫줄을 보면 알수 있듯이 위 식은 $0$보다 크거나 같기 때문에 적분한 값 역시 $0$보다 크거나 같다. 따라서 다음의 부등식이 성립한다.

$$ \begin{align*} 0& \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\overline{c_{n}} \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}}dt + c_{n}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \overline{f(t)} e^{i\frac{n\pi t}{L}}dt \right) \\ &\quad+ \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}e^{i\frac{(m-n)\pi t}{L}}dt \end{align*} $$

이때 복소 푸리에 계수의 정의를 이용해서 두번째 항을, 지수함수의 직교성을 이용해서 세번째 항을 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} 0 &\le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\bar c_{n} \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}}dt + c_{n}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \bar f(t)e^{i\frac{n\pi t}{L}}dt \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}e^{i\frac{(m-n)\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} \left(\bar c_{n} c_{n} + c_{n}\bar c_{n} \right) + \sum \limits_{m=-N}^{N}\sum\limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2}\delta_{mn} \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N}2 |c_{n}|^{2} + \sum \limits_{n=-N}^{N}|c_{n}|^{2} \\ &= \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2} dt - \sum \limits_{n=-N}^{N} |c_{n}|^{2} \end{align*} $$

마지막 식의 두번째 항을 이항해서 $N \rightarrow \infty$의 극한을 취하면 아래와 같다.

$$ \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} |c_{n}|^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} |f(t)|^{2}dt $$

푸리에 계수와 복수 푸리에 계수의 관계에 의하여 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2} &= a_{n} \bar a_{n} + b_{n} \bar b_{n} \\ &= (c_{n}+c_{-n})(\bar c_{n} + \bar c_{-n})+ i (c_{n}-c_{-n})(-i)(\bar c_{n} - \bar c_{-n} ) \\ &= 2c_{n}\bar c_{n} + 2c_{-n}\bar c_{-n} \\ &= 2\left( |c_{n}|^{2} + |c_{-n}|^{2} \right) \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2} \right) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( |c_{n}|^{2} + |c_{-n}|^{2} \right) = \sum \limits_{n=-\infty \\ n\ne 0}^{\infty} | c_n |^{2} $$

그리고 $|c_{0}|^{2} = \dfrac{1}{4}|a_{0}|^{2}$이므로

$$ \dfrac{1}{4}|a_0|^{2} +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_n|^{2} + |b_n|^{2} \right) =\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} | c_n |^{2} \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^{2} dt $$

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