힐베르트 공간에서의 베셀 시퀀스

힐베르트 공간에서의 베셀 시퀀스

정의1

힐베르트 공간 $H$의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$에 대해 다음을 만족하는 $B > 0$가 존재하면 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$를 베셀 시퀀스Bessel sequence라 하고 $B$를 베셀 바운드Bessel bound라 한다.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}, \quad \forall \mathbf{v} \in H $$

설명

베셀 시퀀스는 직관적으로 봤을 때 무한차원 벡터 $\mathbf{v}$의 계수가 뒤로 갈수록 작아지도록 휘어주는 시퀀스로 볼 수 있다. 거의 대부분의 수학이 그러하듯 바운드 될 수 없는 무언가는 연구하기가 어려운데, 베셀 시퀀스의 존재성이 주어지는 것만으로도 여러가지 위험한 비약에서 자유로워질 수 있다. 물론 그 존재성을 파악하기 위해 다음과 같이 간단한 동치조건이 알려져있다.

정리

힐베르트 공간 $H$의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$과 $B > 0$가 주어져 있다고 하면 아래의 두 조건은 동치이다.

증명


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p75-76 ↩︎

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