조밀한 부분공간을 갖는 힐베르트 공간의 베셀 시퀀스

조밀한 부분공간을 갖는 힐베르트 공간의 베셀 시퀀스

정리1

힐베르트 공간 $H$가 주어져 있을 때 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$와 $\overline{V} = H$인 $V \subset H$가 다음을 만족한다고 하자.

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \mathbf{v} \in V $$

그러면 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$은 베셀 바운드 $B$인 베셀 시퀀스다.

설명

원래 베셀 시퀀스는 모든 $\mathbf{v} \in H$에서 부등식을 만족해야했지만, $\overline{V} = H$에 따라 그러한 조건이 약화되어 $\mathbf{v} \in V$에서만 만족해도 충분해진다. 특히 $H$가 폴란드 공간이라면 자연스럽게 조건을 만족한다.

증명

$\mathbf{v} \in H$라고하면 $H$가 가분 공간이므로 $\mathbf{w}_{l} \to \mathbf{v}$를 만족하는 $\left\{ \mathbf{w}_{l} \right\}_{l \in \mathbb{N}} \subset V$가 존재한다. 각각의 $l \in \mathbb{N}$와 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$$ \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{w}_{l} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{w}_{l} \right\|^{2} $$

이므로, $l \to \infty$를 취하면

$$ \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

이는 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 성립하므로 $n \to \infty$를 취하면

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p789 ↩︎

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