바스 확산 모델: 혁신과 모방

바스 확산 모델: 혁신과 모방

모델 12

$$ N' = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) $$

변수

파라메터

설명

유도

로지스틱 성장 모델: $$ N' = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$

바스 확산 모델은 사실 보편적으로 사용하는 선형 로지스틱 성장 모델의 완전한 일반화다. 단순히 $\displaystyle r := {{ q } \over { K }}$ 로 치환해보면

$$ \begin{align*} & N' = {{ r } \over { K }} N ( K - N) \\ \implies& N' = r N \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \\ \implies& N' = \left( q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \end{align*} $$

여기까지는 사실 수식적으로 아무것도 변한 게 없고, 정확히 $p = 0$ 인 경우인 바스 확산 모델 그 자체다. 여기에 첫번째 항 $\displaystyle \left( q {{ N } \over { K }} \right)$ 을 고치자. 집단이 개체수와 상관 없이 최소한의 성장률을 가지게 하려면 간단하게도 이 항에 상수항 $p \ne 0$ 을 더해주면 된다.

$$ N' = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) $$

한계

바스 확산 모델의 한계는 단발성 혁신만을 설명한다는 것이다. 현실에서 생태계의 판도를 바꾸는 혁신은 계속해서 나올 수 있으나 바스 확산 모델은 기존의 대세가 영원히 왕좌에서 내려오지 않는 것을 가정하고 있다. 이를 극복하기 위해 일반화된 모델이 바로 노턴-바스 모델Norton-Bass Model 로써, 계속해서 혁신이 일어나는 것을 반영한다. 3


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Bass_diffusion_model ↩︎

  2. https://exactitude.tistory.com/724 ↩︎

  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Bass_diffusion_model#Successive_generations ↩︎

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