어트랙팅 셋의 베이신

어트랙팅 셋의 베이신

Basin of attracting Set

정의 1

공간 $X$ 와 함수 $f,g : X \to X$ 에 대해 벡터 필드, 맵이 다음과 같이 표현된다고 하자. $$ x' = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$ $\phi(t, \cdot)$ 은 벡터 필드 $x' = f(x)$ 의 플로우, $g^{n}$ 는 맵 $g$ 를 $n$ 번 취한 맵을 나타내도록 하자.다음과 같이 정의된 집합들을 어트랙팅 셋 $A$ 의 베이신Basin이라고 한다.

  • Vector Field $$\displaystyle \bigcup_{t \le 0} \phi ( t, U )$$
  • Map $$\displaystyle \bigcup_{n \le 0} g^{n} ( U )$$

설명

베이신은 우리에게 익숙한 단어가 아닌데, 정의 그 자체보다는 개념적으로 이해하는 것이 중요하다.

20190322\_173638.png 수학 외의 분야에서 베이신이라고 부르는 것은 위의 사진과 같이 오목한 형태의 물건이나 산으로 둘러싸인 지형을 의미하는 분지盆地정도다. 그런데 이러한 말들은 실제로 베이신을 이해하는데 꽤 도움이 된다.

20190322\_175211.png

위와 같이 오목한 세면대 위에 빨간 구슬 하나를 올려놓았다고 생각해보자. 구슬은 중력에 이끌려서 배수구 쪽으로 움직일 것이다. 운동에너지가 남아있다면 배수구를 지나쳐서 다시 비탈을 오를 순 있겠지만, 결국에는 배수구가 있는 곳에서 멈추게 될 것이다. 세면대는 아무 짓도 안 해도 물이 알아서 배수구로 빠지도록 설계되어 있기 때문이다. 이러한 센스에서 배수구는 세면대의 고정점, 세면대는 배수구의 베이신이 된다.

20190322\_175817.png 20190322\_175826.png 조금만 더 추상적으로 접근하자면, 위와 같은 곡면 위에 랜덤하게 공 하나를 떨어뜨린다고 했을 때 고정점은 딱 세 개다. 정확하게 $\color{red}{b}$ 에 떨어뜨린다면 왼쪽으로도, 오른쪽으로도 움직일 이유가 없고, $\color{green}{a}$ 와 $\color{green}{c}$ 에 떨어지면 더 이상 떨어질 곳이 없다.

20190322\_180125.png 그러면 $\color{red}{b}$ 의 베이신은 정확히 $b$ 하나만을 포함하는 싱글톤 셋 $\left\{ b \right\}$ 가 된다. [ NOTE: 수학적으로 피리어딕 포인트 그 자신은 반드시 베이신에 포함된다. ] $\color{green}{a}$ 의 베이신은 빨간 선을 기준으로 왼쪽, $\color{green}{c}$ 의 베이신은 빨간 선을 기준으로 오른쪽이다.

다시 말해, 초기값이 어느 피리어딕 포인트의 베이신에 속하느냐에 따라 그 결과를 미리 알 수 있는 것이다. 피리어딕 포인트의 입장에서는 결국 자신에게 수렴할 초기값들의 집합이 되는 것이고, 시스템의 입장에선 피리어딕 포인트들에 의해 만들어지는 파티션이 된다.


  1. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p108. ↩︎

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