행공간, 열공간, 영공간에 대한 기저

행공간, 열공간, 영공간에 대한 기저

개요1

행공간, 열공간, 영공간과 같은 개념은 선형 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$을 풀기 위해서 만들어졌다. 선형 시스템은 기본 행 연산을 통해 풀 수 있는데, 실제로 행공간과 영공간은 기본 행 연산에 대해서 불변이기 때문에 선형 시스템과 관계가 있음을 알 수 있다. 여기에서 유념해야할 것은 열공간은 기본 행 연산에 대해서 불변이 아니라는 것이다.

정리1

(a1) 행동등인 두 행렬은 행공간이 같다. 다시 말해 기본 행 연산은 행공간을 바꾸지 않는다.

(b1) 행동등인 두 행렬은 영공간이 같다. 다시 말해 기본 행 연산은 영공간을 바꾸지 않는다.

증명

(a1)

두 행렬 $A,B$가 행동등이라고 하자. 그러면 각각의 행렬은 다른 행렬에서부터 기본 행 연산으로 얻을 수 있다. 이 말은 두 행렬 각각의 행을 다른 행렬의 행들의 임의의 선형결합으로 얻을 수 있음을 뜻한다. 따라서 생성의 정의에 의해 두 행렬의 행공간은 같다.

(b1)

두 행렬 $A,B$가 행동등이라고 하자. 기본 행 연산은 선형 시스템의 해를 바꾸지 않으므로, 두 선형 시스템 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$과 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해는 같다. 따라서 두 행렬의 영공간은 같다.

열공간에 대한 예시

두 행렬 $A$와 $B$가 다음과 같다고 하자.

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

그러면 $A$의 1행에 $-2$를 곱하여 2행에 더하면 $B$를 얻을 수 있으므로 $A$, $B$는 행동등이다. 그런데 $A$의 열공간은 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$로 생성되지만 $B$의 열공간은 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$로 생성되므로 두 행렬의 열공간은 다르다. 다만 여기에서 유념해야할 것은 정리3에서 알 수 있듯이 공간은 바뀌지만 차원은 바뀌지 않는다는 점이다.

정리2

행렬 $R$을 행 사다리꼴 이라고 하자. 그러면 선도 1을 갖는 행벡터들이 $R$의 행공간의 기저를 구성하고, 행벡터의 선도 1을 갖는 열벡터들이 $R$의 열공간의 기저를 구성한다.

정리3

두 행렬 $A, B$가 행동등이면 다음이 성립한다.

(a3) $A$의 열벡터들이 선형독립일 필요충분조건은 그에 대응하는 $B$의 열벡터들이 선형독립인 것이다.

(b3) $A$의 열벡터들이 $A$의 열공간의 기저를 구성할 필요충분조건은 그에 대응하는 $B$의 열벡터들이 선형독립인 것이다.


위 정리로부터 기본 행 연산이 열공간의 차원을 바꾸지 않는다는 것을 알 수 있지만, 위의 예시에서 보이듯이 열공간을 바꾸지 않다는게 아님을 다시한 번 유념하자.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p267-270 ↩︎

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