바틀렛 항등식

바틀렛 항등식

Bartlett identity

정리

정칙조건:

  • (R0): 확률밀도함수 $f$ 는 $\theta$ 에 대해 단사다. 수식으로는 다음을 만족시킨다. $$ \theta \ne \theta’ \implies f \left( x_{k} ; \theta \right) \ne f \left( x_{k} ; \theta’ \right) $$
  • (R1): 확률밀도함수 $f$ 는 모든 $\theta$ 에 대해 같은 서포트를 가진다.
  • (R2): 참값 $\theta_{0}$ 는 $\Omega$ 의 내점Interior Point이다.
  • (R3): 확률밀도함수 $f$ 는 $\theta$ 에 대해 두 번 미분가능하다.
  • (R4): 적분 $\int f (x; \theta) dx$ 은 적분 기호를 넘나들며 $\theta$ 에 대해 두 번 미분가능하다.

정칙조건 (R0)~(R4)를 만족한다고 하자.

  • [1] 제1항등식: $$ E \left[ {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right] = 0 $$
  • [2] 제2항등식: $$ E \left[ {{ \partial^{2} \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta^{2} }} \right] + \text{Var} \left( {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right) = 0 $$

유도

정칙조건을 사용해 직접연역한다.

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