미분방정식으로 표현되는 동역학계와 평형점

미분방정식으로 표현되는 동역학계와 평형점

Autonomous system and equilibrium in dynamics

정의 1

공간 $V$ 와 함수 $f : V \to V$ 에 대해 다음과 같은 벡터 필드미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ v’ = f(v) $$

  1. 변수 $t$ 를 포함하는 미분 방정식에서 $t$ 가 명시적으로Explicitly 드러나지 않으면 자율 미분 방정식Automonous Differential Equation이라 한다.
  2. 상수 함수 $f_{0} (v)$ 가 자율 미분 방정식 $v ’ = f(v)$ 의 솔루션이면 $f_{0}$ 를 평형점Equilbrium이라 한다.

설명

  1. 자율 미분 방정식으로 표현되는 동역학계자율 시스템Autonomous System이라고 한다. 기하적으로는 벡터 필드로 표현되는 경우가 대부분이기 때문에 적절한 맥락 하에서는 그냥 벡터 필드라고도 부른다. 보통 변수 $t$ 는 시간을 의미하며, 방정식이 변수 $t$ 를 포함하면서 명시적으로 드러나지 않는다는 것은 예컨대 다음과 같은 식을 이르는 말이다. $$ y’ = y $$ 위 미분 방정식의 자명하지 않은 솔루션은 $y = e^t$ 이다. 이러한 미분 방정식에 왜 하필 자율Autonomous이 붙는지는 비자율 미분 방정식을 생각해보면 된다. 비자율 미분 방정식은 말 그대로 변수 $t$ 가 미분 방정식에 명시적으로 드러나는 미분 방정식을 말한다. 예컨대 다음과 같이 항 $\sin t$ 가 추가된 것과 같다. $$ y’ = y + \sin t $$ 이러한 미분 방정식으로 표현되는 시스템은 $y$ 그 자체가 아니라 시간 $t$ 에 따라 외부의 어떤 간섭을 받는 것으로 볼 수 있다. 이러한 센스에서 비자율 미분 방정식이 아닌 방정식을 자율 미분 방정식으로 부르는 것은 타당해보인다.
  2. 평형점은 물리학적인 센스가 많이 가미된 단어고, 수학에서는 그냥 고정점Fixed Point이라는 표현을 선호한다. 시스템에서 고정점은 그 이름 그대로 움직이지 않는다. 점이 움직이지 않는다는 것은 위치의 변화량을 나타내는 미분계수가 모조리 $0$ 이라는 것이고, 고정점인만큼 상수 함수다.엄밀한 표현으로는 함수가 정의된 정의역 $X$ 가 아니라 미분 방정식의 솔루션이 이루는 함수 공간 $C^{1} (X)$ 의 한 원소, 다시 말해 함수로써 고정점이지만 교재에 따라서는 유하게 $X$ 의 한 원소가 고정점이라고 불릴 수도 있다.

예시

예로써 로렌츠 어트랙터를 생각해보자: $$ \begin{cases} \displaystyle {{dx} \over {dt}} = - \sigma x + \sigma y \\ \displaystyle {{dy} \over {dt}} = - xz + \rho x - y \\ \displaystyle {{dz} \over {dt}} = xy - \beta z \end{cases} $$ 고정점은 도메인 $\mathbb{R}^3$ 상에서 움직이지 않는 점을 묘사하므로 모든 좌변에 $0$ 을 대입함으로써 얻을 수 있다. $$ \begin{cases} \displaystyle 0 = - \sigma x + \sigma y \\ \displaystyle 0 = - xz + \rho x - y \\ \displaystyle 0 = xy - \beta z \end{cases} $$ 간단한 계산을 통해 다음의 세 고정점 $F_{i}$ 들을 구해낼 수 있다. $$ F_{1} = F_{1}(t) = (0,0,0) \\ F_{2} = F_{2}(t) = \left( \sqrt{\beta (\rho - 1)},\sqrt{\beta (\rho - 1)}, (\rho-1) \right) \\ F_{3} = F_{3}(t) = \left( -\sqrt{\beta (\rho - 1)},-\sqrt{\beta (\rho - 1)}, (\rho-1) \right) $$ 여기서 $F_{i} = F_{i} (t)$ 와 같이 함수로 나타낸 것에 주목하라. 언뜻 $F_{i}$ 는 $\mathbb{R}^{3}$ 상의 점으로 보이긴 하지만, 그 정의에 따르면 시간 $t$ 에 따라 값이 변하지 않는 상수 함수이자 로렌츠 미분 방정식의 솔루션으로써 구해진 것이다. 물론 개념적으로는 삼차원 공간 속의 점과 차이가 없다.


  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p271~277. ↩︎

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