첨가행렬과 기본 행 연산

첨가행렬과 기본 행 연산

augmented matrix and elementary row operations

정의1

아래와 같은 선형 시스템이 주어졌다고 하자.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1}\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2}\\ &\vdots\\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= b_{m} \end{aligned} \label{linsys2} \end{equation} $$

선형 시스템의 상수들을 행렬로 표현한 것을 첨가행렬augmented matrix라고 한다.

$$ \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{bmatrix} \label{augmented} \end{equation} $$

설명

행렬은 연립 일차 방정식을 쉽게 풀기 위해 고안되었다. 가령 $\eqref{linsys2}$의 상수들만을 떼서 $\eqref{augmented}$와 같이 표현하거나 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &= \mathbf{b} \end{align*} $$

특히 첨가행렬로 나타낸 경우에 기본 행 연산elementary row operations을 통해서 선형 시스템을 풀 수 있는데, 사실 이는 중학교때 배운 가감법과 본질적으로 같다.

정의

다음의 세 연산을 기본 행 연산이라 한다.

  • $0$이 아닌 상수를 한 행에 곱한다.

  • 두 행의 위치를 바꾼다.

  • 한 행의 상수배를 다른 행에 더한다.

예시

가감법으로 연립방정식을 푸는 것은 첨가행렬을 기본 행 연산으로 각 행의 마지막 열을 빼고 하나의 성분만 남기는 일과 같다. 이를 선형대수학의 언어로 말하자면 ‘첨가행렬을 기본 행 연산을 통해서 기약 행사다리꼴로 만드는 것’이다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ 2x &+& 4y &-& 3z &=&\ 1 \\ 3x &+& 6y &-& 5z &=&\ 0 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{bmatrix} $$

첫째줄에 $-2$를 곱한 것을 둘째줄에 더한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ && 2y &-& 7z &=&\ -17 \\ 3x &+& 6y &-& 5z &=&\ 0 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{bmatrix} $$

첫째줄에 $-3$을 곱한 것을 셋째줄에 더한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ && 2y &-& 7z &=&\ -17 \\ && 3y &-&11z &=&\ -27 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 0 & 3 & -11 & -27 \end{bmatrix} $$

둘째줄에 $\dfrac{1}{2}$을 곱한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ && y &-& \dfrac{7}{2} z &=&\ -\dfrac{17}{2} \\ && 3y &-&11z &=&\ -27 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\dfrac{7}{2} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & 3 & -11 & -27 \end{bmatrix} $$

둘째줄에 $-3$을 곱한 것을 셋째줄에 더한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ && y &-& \dfrac{7}{2} z &=&\ -\dfrac{17}{2} \\ && &-&\dfrac{1}{2}z &=&\ -\dfrac{3}{2} \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\dfrac{7}{2} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{3}{2} \end{bmatrix} $$

셋째줄에 $-2$를 곱한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=&\ 9 \\ && y &-& \dfrac{7}{2} z &=&\ -\dfrac{17}{2} \\ && &&z &=&\ 3 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\dfrac{7}{2} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

둘째줄에 $-1$을 곱한 것을 첫째줄에 더한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x && &+& \dfrac{11}{2}z &=&\ \dfrac{35}{2} \\ && y &-& \dfrac{7}{2} z &=&\ -\dfrac{17}{2} \\ && &&z &=&\ 3 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dfrac{11}{2} & \dfrac{35}{2} \\ 0 & 1 & -\dfrac{7}{2} & -\dfrac{17}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

셋째줄에 $-\dfrac{11}{2}$을 곱한 것을 첫째줄에 더하고, 셋째줄에 $\dfrac{7}{2}$을 곱한 것을 첫째줄에 더한다.

$$ \begin{array}{rcrcrcr} x && && &=&\ 1 \\ && y && &=&\ 2 \\ && &&z &=&\ 3 \end{array} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

따라서 주어진 선형 시스텝의 해는 $x=1$, $y=2$, $z=3$이다.


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p6-8 ↩︎

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