해석적 수론에서의 산술 함수

해석적 수론에서의 산술 함수

정의 1

정의역이 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 이고 공역이 실수 집합 $\mathbb{R}$ 혹은 복소수 집합 $\mathbb{C}$ 인 함수를 산술 함수라 한다.

설명

해석적 정수론에서는 다양한 산술 함수의 성질과 관계에 관심을 가지며, 다음과 같은 예들이 있다:

  1. 아이덴티티 함수 $I$
  2. 디바이저 함수 $\sigma_{\alpha}$
  3. 놈 $N$
  4. 디바이저 함수 $\sigma_{\alpha}$
  5. 뫼비우스 함수 $\mu$
  6. 오일러 토션트 함수 $\varphi$
  7. 유닛 함수 $u$
  8. 망골트 함수 $\Lambda$
  9. 리우빌 함수 $\lambda$

산술 함수의 정의를 보면 뭔가 새로울 건 없고, 그냥 시퀀스 자체다. 사실 시퀀스는 그런 설명이 없어도 원래 함수지만, 수학의 여러 분야에서 그 단어 자체는 함수와 구분되어 쓰이는 것이 보통이다. 다만 (해석적) 정수론에서는 원래 다루는 것들이 자연수기 때문에 함수의 정의역으로써 $\mathbb{N}$ 혹은 $\mathbb{Z}$ 이면 충분하고, 시퀀스와 함수를 구분할 이유가 거의 없어진다. 다만 조금 더 함수에 가깝게 다루기 때문에 산술 함수라는 용어가 쓰인다. 형식적으로는 정의역이 벡터필드는 아니지만 공역이 $\mathbb{R}$ 혹은 $\mathbb{C}$ 라는 점이 범함수와 같다.

한편 산술 함수는 그 급수에도 관심을 가지는데, 가령 주어진 산술 함수 $f$ 에 대해서 $\displaystyle F(n) = \sum_{d \mid n} f(d)$ 를 구하는 식이다. $\displaystyle \sum_{d \mid n}$ 은 $n$ 의 모든 약수 $d$ 에 대해 계산을 하는 것으로, 일반적인 해석학에서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}$ 를 계산하는 것과 비슷한 느낌으로 받아들일 수 있다.


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p24. ↩︎

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