미분기하학에서 곡면의 넓이 📂기하학

미분기하학에서 곡면의 넓이

Area of a Region in Surface

정의1

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 곡면좌표조각사상이라고 하자. 곡면 위의 어떤 영역 $\mathscr{R} \subset \mathbf{x}(U)$의 넓이area를 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} A(\mathscr{R}) &:= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} [\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}] du^{1}du^{2} \\ &= \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} \sqrt{g} du^{1}du^{2} \end{align*} $$

이때 $(u^{1}, u^{2})$는 $U$의 좌표, $\mathbf{x}_{i} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{i}}$는 $i$번째 좌표에 대한 편미분, $[\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n}]$는 스칼라 삼중곱, $g$는 제1 기본형식 계수 행렬의 행렬식이다.

설명

이때 $\sqrt{g} du^{1}du^{2}$를 넓이 요소area element라 부르고, $dA$라 표기한다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p130 ↩︎

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