📂양자역학

각운동량 연산자의 행렬 표현

angular momentum matrix

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$L_{z}$와 $L^2$의 동시 고유함수는 $|lm>$고유값 방정식은$L_{z}|l,m>=m\hbar |l,m> $$ L^2|l,m>=l(l+1)\hbar ^2|l,m>$ 이므로$<l,m^{\prime} |L_{z}|l,m>=m\hbar <l,m^{\prime}|l,m>=m\hbar \delta_{mm^{\prime}}$ 이다.$l=1$일 때 $L_{z}$를 행렬로 표현하면 가능한 $m$은 $1, 0, -1$이고$m^{\prime}=m$일 때만 행렬성분의 값이 0이 아니므로$L_{z}=\hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$두 사다리 연산자의 고유값 방정식은 $L_+|l,m>=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar|l,m+1> $$ L_-|l,m>=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar|l,m-1>$ 이므로 아래의 식을 만족한다.

$$ \begin{align*} <l,m^{\prime}|L_+|l,m> =&\ \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar<l,m^{\prime} | l,m+1> \\ =&\ \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m+1} \end{align*} $$

$l=1$일 때를 살펴보면 $m^{\prime}$과 $m+1$이 같은 값일 때만 행렬성분이 0이 아니다.따라서

$$ L_+=\hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$

같은 방식으로

$$ \begin{align*} <l,m^{\prime}|L_-|l,m> =&\ \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar<l,m^{\prime}|l,m-1> \\ =&\ \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m-1} \end{align*} $$

이다.따라서 $m^{\prime}=m-1$일 때만 행렬성분이 0이 아니다.

$$ L_-=\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} $$ 또한 링크의 6번을 참고하면$ \ L_{x} = \dfrac{1}{2} (L_+ + L_-) = \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ L_{y} = \dfrac{-i}{2}(L_{x} - L_-) =\dfrac{\hbar i}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $