각운동량 연산자의 행렬 표현
angular momentum matrix
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$$ \begin{align*} <l,m^{\prime}|L_+|l,m> =&\ \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar<l,m^{\prime} | l,m+1> \\ =&\ \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m+1} \end{align*} $$
$l=1$일 때를 살펴보면 $m^{\prime}$과 $m+1$이 같은 값일 때만 행렬성분이 0이 아니다.따라서
$$ L_+=\hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$
같은 방식으로
$$ \begin{align*} <l,m^{\prime}|L_-|l,m> =&\ \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar<l,m^{\prime}|l,m-1> \\ =&\ \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m-1} \end{align*} $$
이다.따라서 $m^{\prime}=m-1$일 때만 행렬성분이 0이 아니다.
$$ L_-=\hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} $$ 또한 링크의 6번을 참고하면$ \ L_{x} = \dfrac{1}{2} (L_+ + L_-) = \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ L_{y} = \dfrac{-i}{2}(L_{x} - L_-) =\dfrac{\hbar i}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $