각운동량의 사다리연산자올림연산자 내림연산자

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각운동량을 다룰 때 유용하게 쓰이는 두 연산자를 소개한다.

$1.$ 올림 연산자$\mathrm{Raising\ Operator}$ $L_+ \equiv L_{x} + iL_{y} $$ 2.$ 내림 연산자$\mathrm{lowering\ Operator}$ $L_- \equiv L_{x} - iL_{y}$즉, $(L_-)^{\ast}=L_+$

이 두 연산자의 이름이 ‘올림’, ‘내림’인 이유는?각운동량 크기의 제곱 연산자와 각운동량 성분의 동시 고유함수에 적용했을 때 고유함수의 상태가 올라가거나 내려가기 때문이다.이는 각운동량의 제곱과 각운동량 성분의 동시 고유함수, 고유값 구하기에서 확인해보자.이 글에서는 계산을 하기 위한 여러가지 관계식과 교환자를 구하도록 하겠다.또한, 이렇게 다른 연산자의 고유벡터(고유함수)의 고유값을 변화 시키는 연산자를 사다리 연산자$\mathrm{Ladder\ Operator}$라고 한다.고유 값을 증가시키는 연산자를 올림 연산자, 감소시키는 연산자를 내림 연산자라고 한다.※주의 : 연산자는 연산순서가 매우 중요하기 때문에 평소에 실수 대하듯이 다루면 안된다.임의의 두 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다.예를 들어 $(A+B)^2$를 전개할 때 $A^2+2AB+B^2$는 틀렸다.$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$으로 전개해야 맞다.$ \begin{align*} 1)\ L_+L_-= (L_{x} + iL_{y})(L_{x}-iL_{y}) =&\ {L_{x}}^2 + iL_{y}L_{x} - iL_{x}L_{y} + {L_{y}}^2 \\ =&\ {L_{x}}^2+{L_{y}}^2 -i[L_{x},L_{y}] \\ =&\ {\vec L}^2 -{L_{z}}^2 +\hbar L_{z} \end{align*} $$ \begin{align*} 2)\ L_-L_+= (L_{x} - iL_{y})(L_{x} + iL_{y}) =&\ {L_{x}}^2 - iL_{y}L_{x} + iL_{x}L_{y} + {L_{y}}^2 \\ =&\ {L_{x}}^2+{L_{y}}^2 +i[L_{x},L_{y}] \\ =&\ {\vec L}^2 -{L_{z}}^2 -\hbar L_{z} \end{align*} $$ 1)$과 $2)$의 결과를 종합하면$\begin{align*} 3)\ {\vec L}^2 =&\ L_+L_- + {L_{z}}^2 -\hbar L_{z} \\ =&\ L_-L_+ + {L_{z}}^2 +\hbar L_{z} \\ =&\ L_\pm L_\mp + {L_{z}}^2 \mp \hbar L_{z} \end{align*} $$ \begin{align*} 4)\ [L_{z},L_\pm] =&\ [L_{z},L_{x} \pm iL_{y}] \\ =&\ [L_{z},L_{x}] \pm i [L_{z},L_{y}] \\ =&\ i\hbar L_{y} \pm i (-i\hbar L_{x}) \\ =&\ \pm \hbar(L_{x} \pm iL_{y}) \\ =&\ \pm \hbar L_\pm \end{align*} $$ \begin{align*} 5)\ [{\vec L}^2, L_\pm] =&\ [\vec L^2, L_{x} \pm iL_{y}] \\ =&\ [{\vec L}^2,L_{x}] \pm i [{\vec L}^2 , L_{y}] \\ =&\ 0 \end{align*} $$ ( \because [{\vec L}^2, L_i]=0 \ $ 참고 $) $$ L_+$와 $L_-$를 연립하면$ \begin{align*} 6)\ L_{x}=&\ \dfrac{1}{2} (L_+ + L_-) \\ L_{y} =&\ \dfrac{-i}{2}(L_{x} - L_-) \end{align*} $

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