각운동량의 사다리연산자올림연산자 내림연산자
angular momentum ladder operator raising operator lowering operator
정의
- 올림 연산자raising operator: $L_+ \equiv L_{x} + iL_{y}$
- 내림 연산자lowering operator: $L_- \equiv L_{x} - iL_{y}$즉, $(L_-)^{\ast}=L_+$
설명하는
이 두 연산자의 이름이 ‘올림’, ‘내림’인 이유는?각운동량 크기의 제곱 연산자와 각운동량 성분의 동시 고유함수에 적용했을 때 고유함수의 상태가 올라가거나 내려가기 때문이다.이는 각운동량의 제곱과 각운동량 성분의 동시 고유함수, 고유값 구하기에서 확인해보자.
이 글에서는 계산을 하기 위한 여러가지 관계식과 교환자를 구하도록 하겠다.또한, 이렇게 다른 연산자의 고유벡터(고유함수)의 고유값을 변화 시키는 연산자를 사다리 연산자$\mathrm{Ladder\ Operator}$라고 한다.고유 값을 증가시키는 연산자를 올림 연산자, 감소시키는 연산자를 내림 연산자라고 한다.※주의 : 연산자는 연산순서가 매우 중요하기 때문에 평소에 실수 대하듯이 다루면 안된다.임의의 두 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다.예를 들어 $(A+B)^2$를 전개할 때 $A^2+2AB+B^2$는 틀렸다.$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$으로 전개해야 맞다.
$$ \begin{align*} 1)\ L_+L_-= (L_{x} + iL_{y})(L_{x}-iL_{y}) =&\ {L_{x}}^2 + iL_{y}L_{x} - iL_{x}L_{y} + {L_{y}}^2 \\ =&\ {L_{x}}^2+{L_{y}}^2 -i[L_{x},L_{y}] \\ =&\ {\vec L}^2 -{L_{z}}^2 +\hbar L_{z} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 2)\ L_-L_+= (L_{x} - iL_{y})(L_{x} + iL_{y}) =&\ {L_{x}}^2 - iL_{y}L_{x} + iL_{x}L_{y} + {L_{y}}^2 \\ =&\ {L_{x}}^2+{L_{y}}^2 +i[L_{x},L_{y}] \\ =&\ {\vec L}^2 -{L_{z}}^2 -\hbar L_{z} \end{align*} $$ 1)$과 $2)$의 결과를 종합하면
$$ \begin{align*} 3)\ {\vec L}^2 =&\ L_+L_- + {L_{z}}^2 -\hbar L_{z} \\ =&\ L_-L_+ + {L_{z}}^2 +\hbar L_{z} \\ =&\ L_\pm L_\mp + {L_{z}}^2 \mp \hbar L_{z} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 4)\ [L_{z},L_\pm] =&\ [L_{z},L_{x} \pm iL_{y}] \\ =&\ [L_{z},L_{x}] \pm i [L_{z},L_{y}] \\ =&\ i\hbar L_{y} \pm i (-i\hbar L_{x}) \\ =&\ \pm \hbar(L_{x} \pm iL_{y}) \\ =&\ \pm \hbar L_\pm \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 5)\ [{\vec L}^2, L_\pm] =&\ [\vec L^2, L_{x} \pm iL_{y}] \\ =&\ [{\vec L}^2,L_{x}] \pm i [{\vec L}^2 , L_{y}] \\ =&\ 0 \end{align*} $$ ( \because [${\vec L}^2, L_i]=0$ 참고 $)
$L_+$와 $L_-$를 연립하면
$$ \begin{align*} 6)\ L_{x}=&\ \dfrac{1}{2} (L_+ + L_-) \\ L_{y} =&\ \dfrac{-i}{2}(L_{x} - L_-) \end{align*} $$
