입자계의 각운동량

입자계의 각운동량

입자계의 각운동량1

입자계의 선운동량을 각 입자의 선운동량의 합으로 정의했다. 이와 마찬가지로 입자계의 각운동량은 각 입자의 각운동량의 합으로 정의된다.

$$ \mathbf{L}=\sum \limits _{i=1} ^{n} (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{p}_{i}) $$

토크는 각운동량의 변화율이므로 입자계의 토크는 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{N} &= \frac{d \mathbf{L}}{dt} \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{v}_{i}\times \mathbf{p}_{i}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{a}_{i}) \end{align*} $$

이때 $\mathbf{p}_{i}=m_{i}\mathbf{v}_{i}$이므로 우변의 첫번째 항의 외적은 $\mathbf{0}$이다. 또한 $m\mathbf{a}_{i}$는 입자 $i$에 작용하는 모든 힘이므로 위 식은 아래와 같다.

$$ \begin{align} \mathbf{N} &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \left[ \mathbf{r}_{i} \times \left( \mathbf{F}_{i}+\sum \limits _{j=1} ^{n} \mathbf{F}_{ij}\right) \right] \nonumber \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{i}+ \sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij} \label{eq1} \end{align} $$

이때 두번째항을 정리하면 $\mathbf{0}$이 됨을 확인할 수 있다. 두 합기호를 풀어 적었을 때 각 항들을 아래와 같이 짝지을 수 있다.

$$ \begin{equation} (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})+(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ji}) \label{eq2} \end{equation} $$

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이때 $\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}$라고 하자. 그리고 $\mathbf{F}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ji}$는 서로 작용-반작용 관계이므로 $\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$이다. 따라서 $\eqref{eq2}$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})+(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ji}) \\ =&\ (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})-(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ij}) \\ =&\ -\mathbf{r}_{ij}\times \mathbf{F}_{ij} \end{align*} $$

이때 $\mathbf{r}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ij}$는 모두 같은 선상에 놓인 벡터이므로 외적하면 $\mathbf{0}$이다. 따라서$\eqref{eq1}$의 두번째 항은 모두 $\mathbf{0}$이므로 아래의 식을 얻는다.

$$ \mathbf{N}=\frac{ d \mathbf{L}}{ d t }=\sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{i} $$

그러므로 입자계의 토크는 각 입자의 토크의 합과 같다는 것을 알 수 있다.

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각운동량을 질량 중심에 관하여 표현할 수도 있다. 각 위치벡터를 위 그림과 같이 질량중심으로 표현했다고 하자. $$ \begin{equation} \mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i}
\label{eq3} \end{equation} $$

이를 시간에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i} $$

$\mathbf{v}_{cm}$은 질량중심의 속도이고, $\mathbf{v}'_{i}$는 각 입자의 질량중심에 대한 상대속도이다. 그러면 입자계의 각 운동량은 아래와 같이 계산된다.

$$ \begin{align*} \mathbf{L} &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i})\times m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm} \times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &\quad +\sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &= \mathbf{r}_{cm}\times \left(\sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i }\right)\mathbf{v}_{cm} +\mathbf{r}_{cm} \times \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i} \\ &\quad +\left(\sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}\overline{\mathbf{r}}_{i} \right)\times\mathbf{v}_{cm} + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \end{align*} $$

여기서 세번째 항은 $\eqref{eq3}$과 질량 중심의 정의에 의해서 $\mathbf{0}$이 됨을 아래와 같은 계산으로 확인할 수 있다.

$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{r}}_{i}&=\sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\mathbf{r}_{i}-m\mathbf{r}_{cm} \\ &= \mathbf{0} \end{align*} $$

$m$은 입자계의 총 질량이다. 또한 위 식을 시간에 대해서 미분하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}=\sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}\mathbf{v}_{i}-m\mathbf{v}_{cm}= \mathbf{0} $$

따라서 $\mathbf{L}$의 두번째 항도 $\mathbf{0}$이다. 이제 최종적으로 $\mathbf{L}$은 아래와 같다.

$$ \mathbf{L}=\mathbf{r}_{cm}\times m \mathbf{v}_{cm} + \sum \limits _{i=1} ^{n} \overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i} $$

여기서 첫항은 질량 중심의 각운동량이라 할 수 있고, 두번째항은 각 입자의 질량 중심에 대한 각운동량의 총합이라고 볼 수 있다. 이와 같이 각운동량을 질량 중심에 관한 항과 질량 중심을 기준으로 했을 때의 상대적인 항으로 나누어 이해하는 것은 물리학의 많은 부분에서 도움이 된다.


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p278-280 ↩︎

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