모든 n차원 실벡터공간은 R^n과 동형이다

모든 n차원 실벡터공간은 R^n과 동형이다

All n-Dimensional Real Vector Space is Isomorphic to n-Dimensional Euclidean Space

정리

모든 $n$차원 실벡터공간은 $\mathbb{R}^{n}$과 동형이다.

증명

$V$를 $n$차원 실벡터공간이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 일대일이고 전사인 $T$가 존재함을 보이면 증명이 끝난다.

$$ T : V \to \mathbb{R}^{n} $$


$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 기저라고 하자. 그러면 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서, 다음과 같은 기저들의 선형결합 표현이 유일하게 존재한다.

$$ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n},\quad k_{i}\in \mathbb{R} $$

이제 변환 $T$를 다음과 같이 정의하자.

$$ T(\mathbf{v}) = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) $$

  • Part 1. $T$는 선형이다

    $\mathbf{v}, \mathbf{u} \in V$가 다음과 같이 표현된다고 하자.

    $$ \begin{equation} \mathbf{v}=k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} \quad \text{and} \quad \mathbf{u}=d_{1}\mathbf{v}_{1} + d_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{n}\mathbf{v}_{n} \label{lincom} \end{equation} $$

    그리고 $c\in \mathbb{R}$이라고 하자. 그러면 다음에 의해 $T$는 선형이다.

    $$ \begin{align*} T(\mathbf{v} + c\mathbf{u}) &= T\left( (k_{1}+ cd_{1})\mathbf{v}_{1} + (k_{2}+cd_{2})\mathbf{v}_{2} + \cdots + (k_{n}+cd_{n})\mathbf{v}_{n} \right) \\ &= \left( k_{1}+ cd_{1}, k_{2}+cd_{2}, \dots, k_{n}+cd_{n}\right) \\ &= \left( k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}\right) + c\left(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}\right) \\ &= T(\mathbf{v}) + cT(\mathbf{u}) \end{align*} $$

  • Part 2. $T$가 일대일이다.

    만약 $\mathbf{v}, \mathbf{u}$가 $\eqref{lincom}$을 만족하고, $\mathbf{v} \ne \mathbf{u}$라고 하자. 그러면 적어도 하나의 $i$에 대해서는 $k_{i}\ne d_{i}$이어야한다. 따라서

    $$ \left( k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}\right) = T(\mathbf{v}) \ne T(\mathbf{u}) = \left(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}\right) $$

  • Part 3. $T$는 전사이다

    $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$이라고 하자. 그러면 $V$는 $\mathbf{v}_{i}$들의 모든 선형결합의 집합이므로 다음을 만족하는 $\mathbf{v} \in V$가 존재한다.

    $$ \mathbf{v} = x_{1}\mathbf{v}_{1} + x_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{v}_{n} $$

    따라서 모든 $T$는 전사이다.

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