대수적 수와 초월수

대수적 수와 초월수

Algebraic number and transcendental number

정의 1

$F$ 의 확대체를 $E$ 라고 하자. 상수함수가 아닌 $f(x) \in F [ x ]$ 에 대해 $f( \alpha ) = 0$ 을 만족시키는 $\alpha \in E$ 를 $F$ 상에서 대수적Algebraic이라 하고, 대수적이지 않으면 초월적Transcendental이라 한다. $F = \mathbb{Q}$, $E = \mathbb{C}$ 이라고 할 때 $\alpha \in \mathbb{C}$ 가 대수적이면 대수적 수, 초월적이면 초월수라 한다.

설명

예를 들어 $ f(x) = x^2 - 2 $ 라는 다항함수가 있다면 $f(x) = 0$ 을 만족하는 유리수해는 존재하지 않지만, $\mathbb{Q}$ 에서 확장된 $\mathbb{R}$ 에서는 $\sqrt{2}$ 라는 해가 존재한다. 그러나 $\pi$ 와 같은 수의 경우엔 이런 방식으로는 유도할 수 없다. 해서 $\sqrt{2}$ 와 $\pi$ 는 둘 다 무리수는 무리수지만 $\sqrt{2}$ 는 대수적 수, $\pi$ 는 초월수라고 한다.

의외로 대수적 수와 초월수 자체는 고등학생부터 친숙하게 접할 수 있는 개념이다. 보통 고등학교 과정에서 문과와 이과를 가르는 것이 초월함수의 미적분이라고 듣기 때문이다. 거기서 보통은 대수적 수, 초월수에 대한 설명도 동반된다.

고등학교 수준에선 흔히 정수를 계수로 갖는 다항 방정식의 해가 될 수 있으면 대수적 수, 그렇지 않으면 초월수라고 설명한다. 이것을 추상대수의 언어로 말할 땐 $F = \mathbb{Q}$, $E = \mathbb{C}$ 와 같이 깔끔하게 줄일 수 있다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p267. ↩︎

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