연속함수공간의 알지브라

연속함수공간의 알지브라

정의1

다음 세 가지 조건을 만족하는 집합 $A$ 를 $C(X)$ 의 알지브라algebra라 한다.

**(i): $\emptyset \ne A \subset C(X)$

(ii): $f,g \in A \implies (f+g) , fg \in A$

(iii): $f \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A$

메트릭 스페이스 $X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자. $A$ 의 모든 시퀀스 $\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 어떤 $f \in A$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle | f - f_{n} | \to 0$ 면 $A$ 가 유니폼리 클로즈드Uniformly Closed라 한다.

설명

이에 대한 다음의 보조정리는 간단한 팩트처럼 보이지만 증명은 결코 쉽지 않으며, 스톤-바이어슈트라스 정리를 증명하는데 요긴하게 쓸 수 있다.

보조정리

$X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스고 $A$ 가 상수함수를 포함하면서 $C(X)$ 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면 $f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A$

증명

Strategy : $(f \land g)$ 와 $(f \lor g)$ 는 조금 더 쉬운 함수들의 조합으로 나타낼 수 있다. 그 쉬운 함수 중에 $|f|$ 가 있는데, $f \in A \implies |f| \in A$ 임을 보이는 것이 난관이다. 이항급수를 통한 트릭으로 $|f|$ 로 수렴할 수열 $\left\{ M g_{n} (x) \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 직접 만들어낸다. 그러면 유니폼리 클로즈드라는 조건에 의해 증명이 끝난다.



  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p377-378 ↩︎

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