연속함수공간의 알지브라

연속함수공간의 알지브라

Algebra of continuous function Space

정의1

다음 세 가지 조건을 만족하는 집합 $A$ 를 $C(X)$ 의 알지브라algebra라 한다.

**(i): $\emptyset \ne A \subset C(X)$

(ii): $f,g \in A \implies (f+g) , fg \in A$

(iii): $f \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A$

메트릭 스페이스 $X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자. $A$ 의 모든 시퀀스 $\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 어떤 $f \in A$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle | f - f_{n} | \to 0$ 면 $A$ 가 유니폼리 클로즈드Uniformly Closed라 한다.

설명

이에 대한 다음의 보조정리는 간단한 팩트처럼 보이지만 증명은 결코 쉽지 않으며, 스톤-바이어슈트라스 정리를 증명하는데 요긴하게 쓸 수 있다.

보조정리

$X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스고 $A$ 가 상수함수를 포함하면서 $C(X)$ 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면 $f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A$

  • $\land$ 와 $\lor$ 은 $f,g \in C(X)$ 와 $x \in X$ 에 대해 $\displaystyle (f \land g) (x) := \min \left\{ f(x) , g(x) \right\}$ 와 $\displaystyle (f \lor g) (x) := \max \left\{ f(x) , g(x) \right\}$ 를 의미한다.

증명

Strategy : $(f \land g)$ 와 $(f \lor g)$ 는 조금 더 쉬운 함수들의 조합으로 나타낼 수 있다. 그 쉬운 함수 중에 $|f|$ 가 있는데, $f \in A \implies |f| \in A$ 임을 보이는 것이 난관이다. 이항급수를 통한 트릭으로 $|f|$ 로 수렴할 수열 $\left\{ M g_{n} (x) \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 직접 만들어낸다. 그러면 유니폼리 클로즈드라는 조건에 의해 증명이 끝난다.


  • Part 1. 알지브라

    $A$ 는 알지브라이므로 $$ g \in A, 0 \in \mathbb{R} \implies 0 \in g $$

    $$ g \in A, (-1) \in \mathbb{R} \implies (-g) \in g $$

    $$ f , (-g) \in A \implies (f - g ) \in A $$ $(f \land g) (x)$ 와 $(f \lor g) (x)$ 은 각각 $$ \displaystyle (f \land g) (x) = \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} = {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) - \left| (f - g)(x) \right| \right] $$

    $$ \displaystyle (f \lor g) (x) = \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} = {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) + \left| (f - g)(x) \right| \right] $$ 처럼 $(f + g)$ 와 $| f - g |$ 의 조합으로 나타낼 수 있다. 다시 한 번, $A$ 는 알지브라이므로 $(f + g ) \in A$ 이고 $ ( f - g ) \in A$ 이므로 $f \in A \implies | f | \in A$ 만 보이면 충분하다. $| f | = 0$ 인 경우는 당연히 $| f | = 0 \in A$ 이므로 $M := | f | > 0$ 인 경우만 생각해보자.

  • Part 2. $\forall \epsilon> 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$

    이항급수

    $|x| < 1$ 이면 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해

    $$ (1 + x )^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} $$

    $$ \begin{align*} \displaystyle | t | =& \left( 1 - \left( 1- t^2 \right) \right)^{1/2} \\ & =& 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{\infty} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} \end{align*} $$

    은 $( -\sqrt{2} , \sqrt{2} )$ 상에서 균등수렴하므로 $[-1,1]$ 상에서도 균등수렴한다. 위 식의 마지막 항을 $n \in \mathbb{N}$ 에 따른 유합합으로 바꾼 $P_{n}$ 를 다음과 같이 정의하자.

    $$ P_{n} (t) := 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{n} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} $$

    그러면 임의의 $\varepsilon > 0$ 와 $t \in [-1 , 1 ]$ 에 대해 $n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다.

  • Part 3. $f \in A \implies | f | \in A$

    $x \in X$ 에 대해 $g_{n} (x)$ 을

    $$ g_{n} (x ) : = P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) $$

    와 같이 정의하자. $A$ 는 상수함수를 포함하는 알지브라이므로 모든 $c \in \mathbb{R}$ 에 대응되는 상수함수 $c(x) = c$ 가 존재한다. $\displaystyle P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)$ 는 상수함수와 $\displaystyle \left( {{f(x)} \over {M}} \right)^{2k}$ 들의 선형결합으로 표현되므로 $g_{n} \in A$ 임이 보장된다. Part 1에서 $M = | f | > 0$ 으로 가정했으므로 $t$ 를 $\displaystyle t := {{ f(x) } \over { M }}$ 로 두면 $t \in [-1,1]$ 이고 Part 2에 따라

    $$ \left| g_{n} (x) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right| \right| = \left| P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right|\right| = \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon $$

    을 만족하는 $N$ 이 존재한다. 양끝변에 $M$ 을 곱하면

    $$ \left| M g_{n} (x) - \left| f(x) \right| \right| < M \varepsilon $$

    이므로 $x \in X$ 상에서 $n \to \infty$ 일 때 $| M g_{n} - |f| | \to 0$ 이고, $A$ 는 유니폼리 클로즈드이므로

    $$ |f| \in A $$


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p377-378 ↩︎

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