대수, 준측도

대수, 준측도

algebra and premeasure

정의

집합 $X \ne \varnothing$의 부분 집합들의 컬렉션 $\mathcal{A}$가 아래의 세 조건을 만족할 때 집합 $\mathcal{A}$를 $X$ 위의 집합들의 대수algebra of sets on X 라고 한다.

  • (a) $E_1$, $\cdots$, $E_n\in \mathcal{A}$이면, $\bigcup \nolimits_1^n E_n \in \mathcal{A}$이다.

  • (b) $E_1$, $\cdots$, $E_n\in \mathcal{A}$이면, $\bigcap \nolimits_1^n E_n \in \mathcal{A}$이다.

  • (c) $E \in \mathcal{A}$이면, $E^c\in \mathcal{A}$이다.

$\mathcal{A}$를 $X$ 위의 대수라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 $\mu_0\ :\ \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$를 준측도premeasure라고 한다.

  • (d) $\mu_0 (\varnothing)=0$

  • (e) $\left\{ E_j \right\}_{1}^\infty$가 $\mathcal{A}$의 서로소인 집합들의 수열이고, $\bigcup \nolimits_1 ^\infty E_j \in \mathcal{A}$라고 하자. 그러면 $$ \mu_0 \left( \bigcup \limits_1^\infty E_j\right)=\sum \limits _1 ^\infty \mu_0 (E)_j $$

설명

여기에서 조건 (a)유한합집합, (b)유한교집합를 가산합집합, 가산교집합으로 바꾸면 시그마-대수가 된다. 또한 $\varnothing$, $X$ $\in \mathcal{A}$가 성립하는데 이는 위의 정의로 쉽게 확인할 수 있다. 혹은 이 조건 자체를 정의에 포함시켜서 말하기도 한다.


$E \in \mathcal{A}$이면 정의에 의해서 $E^c \in \mathcal{A}$이고 또한 $E\cap E^c=\varnothing \in \mathcal{A}$이다. 그러므로 $\varnothing^c=X\in \mathcal{A}$


(e) 는 가산합집합이 다시 대수에 포함되어야하는 것은 아니지만, 만약 포함된다면 그에 한해서는 가산가법성을 가져야한다는 말이다.

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