측도의 절대 연속

측도의 절대 연속

Absolutely continuous

정의 1

가측 공간 $( \Omega , \mathcal{F} )$ 가 주어져 있다고 하자. 측도 $\nu$, $\mu$ 가 모든 $A \in \mathcal{F}$ 에 대해 $$ \mu (A) = 0 \implies \nu (A) = 0 $$ 를 만족시키면 $\nu$ 가 $\mu$ 에 대해 절대 연속이라 하고 $\nu \ll \mu$ 와 같이 나타낸다.

설명

$\nu \ll \mu$ 이라는 표기에서 단번에 알 수 있듯 $\mu$ 는 $\nu$ 를 ‘제압’하는 느낌이 강하다. 문제는 이걸 왜 ‘절대 연속‘이라고 부르냐는 것이다. 이에 대한 좋은 설명을 오랫동안 찾아 다녔으나, 실해석을 공부하는 수준의 학습자라면 다음의 동치조건을 증명하는 것만큼 이해하기 쉬운 방법이 없었다.

정리

$\nu \ll \mu$ $\iff$ $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0 : F \in \mathcal{F}, \mu ( F ) < \delta \implies \nu (F) < \varepsilon $

증명

$(\Rightarrow)$

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle \mu ( F_{n} ) < {{1} \over {2^n}}$ 과 $\nu (F_{n}) > \varepsilon$ 을 만족시키는 시퀀스 $\left\{ F_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{F}$ 이 존재한다고 가정하자.

$\displaystyle A : = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} F_{n}$ 이라고 두면 $\mu (A) = 0$ 이지만 $\nu (A) \ne 0$ 이므로 $\mu (A) = 0 \implies \nu (A) = 0$ 에 모순이다.


$(\Leftarrow)$

$\forall \varepsilon > 0$ 에 대해 $\delta = \varepsilon$ 이라고 두면 $$\mu (A) = 0 \implies \nu (A) = 0$$

일반화


  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p84. ↩︎

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