부호 측도의 절대 연속

부호 측도의 절대 연속

absolutely continuous of signed measure

정의1

가측공간 $(X, \mathcal{E})$ 위의 부호 측도 $\nu$와 양측도 $\mu$가 주어졌다고 하자. 모든 $E \in \mathcal{E}$에 대해서

$$ \mu (E) = 0 \implies \nu (E) = 0 $$

이면 $\nu$ 가 $\mu$ 에 대해 절대 연속absolutely continuous이라 하고 $\nu \ll \mu$ 와 같이 나타낸다.

설명

절대 연속 이는 측도에 대한 절대 연속의 일반화다. 측도의 절대연속에서와 마찬가지로 아래의 동치 조건이 성립한다.

$$ \nu \ll \mu \\ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : E \in \mathcal{E}, \mu ( E ) < \delta \implies |\nu (E)| < \varepsilon $$

증명

$\nu \ll \mu\ \iff |\nu| \ll \mu$이고, $| \nu(E)| \le |\nu| (E)$이므로 $\nu=$$| \nu|$이라고 가정하고 증명해도 무방하다. 양측도에 대해서 해당 내용이 성립하므로 증명 완료


또한 각각의 부호측도 $\nu$, 배리에이션 $|\nu|$, $\nu^{+}$, $\nu^{-}$가 양측도 $\mu$와 뮤츄얼리 싱귤러인 것이 동치였듯이 절대연속 또한 그러하다.

정리1

아래의 세 조건은 모두 동치이다.

  • (a) $\nu \ll \mu$
  • (b) $| \nu | \ll \mu$
  • (c) $\nu^{+} \ll \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \ll \mu$

증명

  • (a) $\implies$ (b)

    $E\in \mathcal{E}$에 대해서 $\mu(E)=0$라고 하자. $\mu$는 양측도이므로 모든 $F\subset E$, $F \in \mathcal{E}$에 대해서 $\mu (F)=0$이다. 그러면 가정에 의해 다음이 성립한다.

    $$ \nu (F) =0,\quad \forall F\subset E $$

    따라서 영집합의 정의에 의해 $E$는 $\nu$-null이다. $E$가 $\nu$-null이면 $|\nu |$-null이므로 다음이 성립한다.

    $$ | \nu| (E)=0 $$

    따라서 $\mu(E)=0$일 때 마다 $| \nu |(E)=0$이므로 다음을 얻는다.

    $$ | \nu | \ll \mu $$

  • (b) $\implies$ (c)

    증명 방법은 위와 같으므로 구체적인 설명은 생략한다. $\mu (E)=0$이라고 하자. 그러면 $E$는 $| \nu |$ -null이다. 그러면 $E$는 $\nu^{+}$null, $\nu^{-}$null이므로 $\nu^{+} (E)=0=\nu^{-} (E)$이다. 따라서 $\mu(E)=0$일 때 마다 $\nu^{+} (E)=0=\nu^{-} (E)$이므로 다음을 얻는다.

    $$ \nu^{+} \ll \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \ll \mu $$

  • (c) $\implies$ (d)

    증명 방법은 위와 같으므로 구체적인 설명은 생략한다. $\mu (E)=0$이라고 하자. 그러면 $E$는 $\nu^{+}$null, $\nu^{-}$null이므로 $\nu$-null이다. 따라서 $\mu(E)=0$일 때 마다 $\nu (E)=0$이므로 다음을 얻는다.

    $$ \nu \ll \mu $$

정리2

$\nu \perp \mu$이고 $\nu \ll \mu$이면, $\nu=0$이다. 다시 말해 $\nu$는 $0$인 상수함수이다.

증명

가정에 의해 $E \cup F=X$, $E \cap F=\varnothing$이고 $\nu$-null인 $E$와 $\mu$-null인 $F$가 존재한다. $F$가 $\mu$-null이고, $\nu$가 $\mu$에 대해서 절대 연속이므로 $\mu (F)=\nu (F)=0$이다. 이제 $A \in \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \nu (A) =\nu (A \cap E) + \nu (A\cap F)=0+0=0,\quad \forall A\in \mathcal{E} $$

따라서 $\nu$는 상수함수 $0$이다.


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p88-89 ↩︎

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